Propagador de fantasmas Faddeev-Popov en cuantización canónica

Question

Propagador de fantasmas Faddeev-Popov en cuantización canónica

Punto cuántico

Obtener el propagador de los fantasmas de Faddeev-Popov (FP) a partir del lenguaje de integrales de ruta es sencillo. Es sencillo

⟨ T (C (X) \bar{C} (y)) ⟩ = \int \frac{d^{4} pags}{(2 π)^{4}} \frac{i {mi}^{- i pags . (X - y)}}{{pags}^{2} - ξ {metro}^{2} + i ϵ} .

$\langle T(c(x) \bar c(y))\rangle~=~\int\frac{d^4 p}{(2\pi)^4}\frac{i e^{-ip.(x-y)}}{p^2-\xi m^2+i\epsilon}.$

Pero no puedo derivarlo correctamente siguiendo la ruta de cuantificación canónica.

El problema es que para los campos anti-conmutación, el producto ordenado por tiempo se define como

⟨ T (C (X) \bar{C} (y)) ⟩ = θ (X^{0} - y^{0}) ⟨ C (X) \bar{C} (y) ⟩ - θ (y^{0} - X^{0}) ⟨ \bar{C} (y) C (X) ⟩

$\langle T(c(x) \bar c(y))\rangle=\theta(x^0-y^0)\langle c(x) \bar c(y)\rangle-\theta(y^0-x^0)\langle \bar c(y) c(x)\rangle$

con un signo menos entre los dos términos. Este signo menos me impide cerrar los contornos de la manera correcta para obtener la expresión en mi primera ecuación.

La única forma en que puedo salvar esto es decir que los fantasmas de FP son especiales, y su producto ordenado por tiempo se define con un signo más en lugar de un signo menos. ¿Es esto legítimo? ¿Cuál es la forma correcta de hacer que el propagador Ghost siga la ruta de cuantificación canónica?

Diego Mazón

1. ¿Qué es

ξ

$\xi$ ? Si esto es

\pm 1

$\pm 1$ convención métrica, también afecta la

i ϵ

$i\epsilon$ término. 2. ¿Ha agregado una fase general a

Z [j]

$Z[j]$ para absorber el

i

$i$ factor en el término cinético del campo fantasma? 3. ¿Podría escribir la acción/hamiltoniana relevante, los campos fantasma de la imagen de Heisenberg en función de los operadores de creación/aniquilación y las relaciones de anticonmutación para ver sus convenciones?

Diego Mazón

Por cierto, ¿es un problema del libro o algo en lo que estás pensando? Porque supongo que las preguntas no tienen sentido. Creo que el formalismo canónico no se sigue directamente de la versión integral de ruta en el truco de FP. Lo más cercano podría ser la cuantificación BRST, pero hay

c

$c$ y

\bar{c}

$\bar c$ son campos reales independientes (por lo que su propagador es 0). Creo que en un formalismo no covariante como el canónico tiene más sentido fijar el indicador temporal en lugar de uno covariante.

Diego Mazón

Última pregunta: ¿cómo se deduce la

i ϵ

$i\epsilon$ términos de la integral de trayectoria si no conoce el funcional de onda de vacío? ¿O lo sabes?

Diego Mazón

Otro problema: el hamiltoniano para un campo fermiónico escalar no está acotado desde abajo.

Punto cuántico

@drake En el propagador,

ξ

$\xi$ es el parámetro calibre, que se obtiene sumando

\frac{1}{2 ξ} (\partial . A)^{2}

$\frac{1}{2\xi}(\partial.A)^2$ al Lagrangiano en el enfoque BRST. Estoy tratando de entender la cuantización canónica covariante (en el lenguaje BRST, por supuesto) para que finalmente pueda analizar los estados de una sola partícula y llevar a cabo la fórmula de reducción LHZ para las amplitudes de dispersión. ¿Dónde puedo aprender más sobre esto?

Diego Mazón

Oh... Pensé que estabas trabajando en el caso más simple sin el mecanismo de Higgs (entonces

m = 0

$m=0$ en su propagador). OK, estoy leyendo tu respuesta a continuación...

Respuestas (1)

Propagador de fantasmas Faddeev-Popov en cuantización canónica

1. ¿Qué es $\xi$ ? Si esto es $\pm 1$ convención métrica, también afecta la $i\epsilon$ término. 2. ¿Ha agregado una fase general a $Z[j]$ para absorber el $i$ factor en el término cinético del campo fantasma? 3. ¿Podría escribir la acción/hamiltoniana relevante, los campos fantasma de la imagen de Heisenberg en función de los operadores de creación/aniquilación y las relaciones de anticonmutación para ver sus convenciones?
Por cierto, ¿es un problema del libro o algo en lo que estás pensando? Porque supongo que las preguntas no tienen sentido. Creo que el formalismo canónico no se sigue directamente de la versión integral de ruta en el truco de FP. Lo más cercano podría ser la cuantificación BRST, pero hay $c$ y $\bar c$ son campos reales independientes (por lo que su propagador es 0). Creo que en un formalismo no covariante como el canónico tiene más sentido fijar el indicador temporal en lugar de uno covariante.
Última pregunta: ¿cómo se deduce la $i\epsilon$ términos de la integral de trayectoria si no conoce el funcional de onda de vacío? ¿O lo sabes?
Otro problema: el hamiltoniano para un campo fermiónico escalar no está acotado desde abajo.
@drake En el propagador, $\xi$ es el parámetro calibre, que se obtiene sumando $\frac{1}{2\xi}(\partial.A)^2$ al Lagrangiano en el enfoque BRST. Estoy tratando de entender la cuantización canónica covariante (en el lenguaje BRST, por supuesto) para que finalmente pueda analizar los estados de una sola partícula y llevar a cabo la fórmula de reducción LHZ para las amplitudes de dispersión. ¿Dónde puedo aprender más sobre esto?
Oh... Pensé que estabas trabajando en el caso más simple sin el mecanismo de Higgs (entonces $m=0$ en su propagador). OK, estoy leyendo tu respuesta a continuación...

Punto cuántico · Answer 1

La solución a este problema proviene del hecho disimulado (Kugo, 1978) de que mientras el campo fantasma de FP es hermético $c^\dagger (x) = c(x)$ , el campo anti-fantasma es anti -hermitiano $\bar c^\dagger (x)=-\bar c (x)$ .

Como resultado, la expansión de onda plana para los campos fantasma/anti-fantasma (Becchi, 2008), Scholarpedia son:

C^{a} (X) = \frac{1}{(2 π)^{3 / 2}} \int_{k_{0} = | \vec{k} |} \frac{d \vec{k}}{2 k_{0}} (γ^{a} (\vec{k}) {mi}^{- i k \cdot X} + (γ^{a})^{†} (\vec{k}) {mi}^{i k \cdot X})

$c^a(x)={1 \over(2 \pi)^{3/2}} \int_{k_0= | \vec k|} {d \vec k \over 2 k_0}( \gamma^a( \vec k)e^{-ik \cdot x}+ (\gamma^a)^\dagger( \vec k)e^{ik \cdot x})$

{\bar{C}}^{a} (X) = \frac{1}{(2 π)^{3 / 2}} \int_{k_{0} = | \vec{k} |} \frac{d \vec{k}}{2 k_{0}} ({\bar{γ}}^{a} (\vec{k}) {mi}^{- i k \cdot X} - ({\bar{γ}}^{a})^{†} (\vec{k}) {mi}^{i k \cdot X}),

$\bar c^a(x)={1 \over(2 \pi)^{3/2}} \int_{k_0= | \vec k|} {d \vec k \over 2 k_0}( \bar \gamma^a( \vec k)e^{-ik \cdot x}- (\bar\gamma^a)^\dagger( \vec k)e^{ik \cdot x}) \ ,$ con un signo menos entre los dos términos en modo expansión para el campo anti-fantasma.

Por lo tanto, al evaluar el correlador (propagador) ordenado en el tiempo, el signo menos en la expansión de onda plana compensa el signo menos en la definición del ordenamiento en el tiempo que se muestra en mi pregunta anterior. Por lo tanto, puedo derivar el propagador Feynman estándar para el campo fantasma FP.

Interesante. Sin embargo, Weinberg define ambos campos como ermitaños en el segundo volumen de su libro QFT. Supongo que presenta un $i$ factor que lo hace real. Y esto tiene que ver con el $i$ en el término cinético que a veces se reabsorbe en una redefinición de $Z[j]$ . También creo que el signo menos en $\bar c$ hace que el hamiltoniano sea acotado desde abajo. Lo que me pregunto es qué pasa con la hermiticidad del hamiltoniano. ¡Buena pregunta y respuesta!
Sería bueno que completaras tu respuesta con la cuantización canónica completa gratuita si ya lo tienes todo claro. Esencialmente: relaciones de conmutación entre campos fantasmas, fantasmas hamiltonianos que no interactúan en el espacio de Fock y ondas de vacío funcionales.
Por cierto, es obvio a partir de los campos de Heisenberg que el hamiltoniano debe ser $H=\sum_a \int d^3\mathbf{K}~\left(\bar\gamma_\mathbf{K}^{a~\dagger}\gamma_\mathbf{K}^a+\gamma_\mathbf{K}^{a~\dagger}\bar\gamma_\mathbf{K}^a-\text{vacuum energy}\right)$ Pedí un cálculo explícito, además de las relaciones de anticonmutación y la función de onda de vacío.
@QuantumDot el enlace a [Kubo, 1978] parece estar muerto. ¿Soy solo yo? En cualquier caso, un enlace alternativo es academic.oup.com/ptp/article/60/6/1869/1846386
Esta es una muy buena respuesta que fue útil para mí. Un posible punto útil para los demás: el término fantasma en el Lagrangiano es $\partial_\mu \bar{c}\partial^\mu c$ . Para que el lagrangiano sea real (es decir, $\mathcal{L}^\dagger=\mathcal{L}$ ), se ve que o bien $c$ o $\bar{c}$ debe ser anti-hermitiano.

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