El iϵiϵi\epsilon en la teoría de dispersión no relativista

(Esta respuesta es más o menos una ampliación del comentario de Urgje).

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, es decir, la energía constante, es esencialmente la transformada de Fourier de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo. El$i\epsilon$la prescripción proviene de hacer transformadas de Fourier que no convergen para problemas de dispersión. Por lo tanto, para obtener algo que converja, debe modificar ligeramente su transformada de Fourier.

Después de esta introducción bastante vaga, veámoslo con un poco más de detalle. La mayor parte de lo siguiente sigue de cerca la biblia de la teoría de la dispersión de Newton , donde el comienzo del tercer capítulo es probablemente el esquema más claro de$i\epsilon$problemas que puede encontrar en la literatura.

Considere la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo ($\hbar=1$):

$$i \dot{\psi}(t) = H \psi(t).$$

Entonces uno puede definir la función de Green:

$$(i \frac{\partial}{\partial t} - H ) G(t) = \mathbb{I}\delta(t) .$$

Sin embargo, esto$G(t)$no es único, hay todo tipo de condiciones iniciales que puede considerar. Una opción común que describe la propagación causal es

$$G^+(t) = 0 \quad \textrm{for } t<0.$$

Por ahora esto es solo una definición de una solución de la ecuación para la función de Green, es decir, hay otras soluciones. Sin embargo esta solución es particularmente útil para resolver problemas de valor inicial , ya que si se conoce el estado inicial en algún momento$t_0$puedes escribir la solución de la ecuación de Schrödinger como

$$\psi(t) = iG^+(t-t_0)\psi(t_0).$$

A partir de ahí, se puede desarrollar la teoría de la dispersión definiendo estados de entrada en el pasado lejano y estados de salida en el futuro lejano y resolviendo las ecuaciones de onda.

Entonces (casi) todo está bien en la imagen dependiente del tiempo. Sin embargo, siempre tendría que especificar paquetes de ondas , por lo que a menudo se prefiere una imagen independiente del tiempo/energía.

Para llegar a la imagen de la energía, transformamos Fourier... casi todo. La transformada de Fourier de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo es la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo

$$E |\psi\rangle = H|\psi\rangle.$$

Ahora veamos la transformada de Fourier de la función de Green de arriba. Aquí es donde el$i\epsilon$viene en:

$$G^+(E) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{iEt} G^+(t).$$

Esto claramente no converge. Como$t \rightarrow -\infty$el integrando es cero, entonces esa parte está bien. Pero como$t \rightarrow +\infty$el integrando puede oscilar. Por lo tanto, tenemos que cambiar nuestra definición de$G^+(E)$a

$$G^+(E) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{i(Et+i\epsilon t)} G^+(t).$$

Tenga en cuenta que no hay absolutamente ninguna elección del signo antes$i\epsilon$aquí. Esto se debe a que arriba decidimos que queremos resolver un problema de valor inicial . Si desea resolver un problema de valor final, elegirá$G_0(t)$será cero en el futuro y necesitará el signo opuesto en la transformada de Fourier.

¿Dónde está la conexión con la ecuación de Lippmann-Schwinger? Manipulando un poco las ecuaciones vemos que

$$G^+(E) = (E-H+i\epsilon).$$

Entonces, en las ecuaciones de Lippmann-Schwinger, aparece la función de Green libre (es decir, hamiltoniana$H_0$sin interacciones). Entonces, ¿dónde está nuestra elección aquí? El estado$|\psi_0\rangle$no es única, escoja como la transformada de Fourier de una onda libre que viaja hacia adelante o de una onda que viaja hacia atrás. Así que ahí tenemos nuestra conexión para elegir que resolvemos un problema de valor inicial y el$i\epsilon$no es arbitrario después de todo.