El functor Hom contravariante es exacto a la izquierda

Estoy tratando de probar la siguiente afirmación:

Dejar

A ⟶ α B ⟶ β C → 0
ser una secuencia exacta de R -Homomorfismos de módulos. Demostrar que la secuencia
0 → hombre R ( C , METRO ) ⟶ β ∗ hombre R ( B , METRO ) ⟶ α ∗ hombre R ( A , METRO )
de Z -módulo de homomorfismos es exacto.

Esta es mi prueba:

Si

A ⟶ α B ⟶ β C → 0
es una secuencia exacta de R homomorfismos de módulo, entonces sabemos que β es sobreyectiva y β ∘ α = 0 .
Para mostrar que
0 → hombre R ( C , METRO ) ⟶ β ∗ hombre R ( B , METRO ) ⟶ α ∗ hombre R ( A , METRO )
es exacta, debemos demostrar que β ∗ es inyectable y Ker ( α ∗ ) = Soy ( β ∗ ) .

Afirmamos que Ker ( β ∗ ) es trivial, o en otras palabras, β ∗ es inyectable.
Tenemos lo siguiente:

Ker ( β ∗ ) = { σ ∈ hombre R ( C , METRO ) ∣ β ∗ ( σ ) = 0 } = { σ ∈ hombre R ( C , METRO ) ∣ σ ∘ β = 0 } = { σ ∈ hombre R ( C , METRO ) ∣ ( σ ∘ β ) ( b ) = 0 ,  para todos  b ∈ B } = { σ ∈ hombre R ( C , METRO ) ∣ σ ( β ( b ) ) = 0 ,  para todos  b ∈ B } = { σ ∈ hombre R ( C , METRO ) ∣ σ ( C ) = 0  para todos  C ∈ C }
(porque β es sobreyectiva por suposición)
= { 0 } .

De este modo, β ∗ es inyectable.

Ahora supongamos que σ ∈ Ker ( α ∗ ) .
Entonces ( σ ∘ α ) ( a ) = 0  para todos  a ∈ A , lo que implica que Soy ( α ) ⊆ Ker ( σ ) , lo que a su vez implica que Ker ( β ) ⊆ Ker ( σ ) (porque la secuencia original era exacta).

Definir una función ϕ : C → METRO por lo siguiente:
Para todos C ∈ C , elige algunos b C ∈ B tal que β ( b C ) = C (lo sabemos β es sobreyectiva de antes).
Además, establecer ϕ ( C ) = σ ( b C ) .
Entonces porque σ es un homomorfismo, entonces ϕ es también un homomorfismo, lo que significa que ϕ ∈ hombre R ( C , METRO ) .
Consideremos lo siguiente

( β ∗ ( ϕ ) ) ( b C ) = ( ϕ ∘ β ) ( b C ) = ϕ ( β ( b C ) ) = ϕ ( C ) = σ ( b C ) .

Por lo tanto, σ ∈ Soy ( β ∗ ) , significa que Ker ( α ) ⊆ Soy ( β ∗ ) .

Ahora supongamos que σ ∈ Soy ( β ∗ ) .
Entonces debe existir alguna φ ∈ hombre R ( C , METRO ) tal que β ∗ ( φ ) = φ ∘ β = σ .
Tenemos lo siguiente:

α ∗ ( σ ) = σ ∘ α = φ ∘ β ∘ α = φ ∘ 0 = 0
(porque β ∘ α = 0 ).
De este modo, σ ∈ Ker ( α ∗ ) , significa que Soy ( β ) ⊆ Ker ( α ∗ ) .
Así, por doble contención, debemos tener que Ker ( α ∗ ) = Soy ( β ∗ ) , lo que significa que la secuencia es exacta, como se iba a mostrar.

¿Alguna sugerencia/comentario?

Es ϕ realmente un homomorfismo (para elecciones arbitrarias de preimágenes)?
Creo que debería ser.
Sí, en realidad lo es. Lo que pasa es que está bien definido (no depende de las elecciones). Tal vez debería probar eso también, y entonces su prueba estará completa.
¡Gracias por su aporte! :)

Respuestas (1)

En general se ve bien, aunque como dice Berci en los comentarios, debes verificar que ϕ no depende de tus elecciones.

Sin embargo, escribo una respuesta, porque sugeriría un método alternativo de prueba para ker ⁡ α ∗ = soy ⁡ β ∗ .

La clave es darse cuenta de que C ≅ B / soy ⁡ α , y β : B → C es el mapa del cociente. Por lo tanto, puedes usar la propiedad universal del cociente, que es que mapea ψ : B → METRO tal que ψ ( soy ⁡ α ) = 0 están en correspondencia uno a uno con los mapas ψ ~ : C → METRO , y la correspondencia viene dada por ψ = ψ ~ ∘ β .

Entonces ψ ( soy ⁡ α ) = 0 si y solo si α ∗ ψ = ψ ∘ α = 0 si y solo si ψ ∈ ker ⁡ α ∗ . De este modo ψ ∈ ker ⁡ α ∗ si y solo si ψ = ψ ~ ∘ β para algunos ψ ~ ∈ hombre R ⁡ ( C , METRO ) , es decir, ψ ∈ ker ⁡ α ∗ si y solo si ψ ∈ soy ⁡ β ∗ , como se desee.

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