Diagrama con secuencias exactas de módulos

Estoy tratando de resolver estos dos problemas en diagramas de morfismos de módulos:

1) Deja

$$\begin{array}{c} M' & \xrightarrow{f_1} & M & \xrightarrow{f_2} & M'' \\ & & \downarrow{\beta} & & \downarrow{\gamma} \\ N' & \xrightarrow{g_1} & N & \xrightarrow{g_2} & N'' \\ \end{array}$$

un diagrama conmutativo de$R$-módulos con líneas exactas horizontales y$g_1$inyectable Demostrar que existe un único morfismo$M' \to N'$que completa el diagrama.

2) Deja

$$\begin{array}{c} M' & \xrightarrow{f_1} & M & \xrightarrow{f_2} & M''&\rightarrow &0 \\ \downarrow{\alpha} & & \downarrow{\beta} \\ N' & \xrightarrow{g_1} & N & \xrightarrow{g_2} & N'' \\ \end{array}$$

un diagrama conmutativo de$R$-módulos con líneas horizontales exactas. Demostrar que existe un único morfismo$\gamma:M'' \to N''$que completa el diagrama.

En 1) tengo la siguiente duda: supongamos que la imagen de$\beta \circ f_1$es "más grande" que la imagen de$g_1$. Entonces, no importa cómo defina$\alpha$, no voy a conseguir$\beta \circ f_1=g_1 \circ \alpha$.

En 2), si$\gamma$existe entonces$\gamma \circ f_2=g_2 \circ \beta$, y desde$f_2$es sobreyectiva, entonces para todo$x \in M''$, hay$m \in M$con$f_2(m)=x$. Estoy confundido sobre cómo definir explícitamente$\gamma$en cada$x \in M''$, quiero decir, por la condición anterior, veo que solo hay una forma de definirlo, pero no sé cómo mostrar explícitamente el morfismo.

Cualquier ayuda con el problema sería muy apreciada.