duda sobre diagrama conmutativo

Question

duda sobre diagrama conmutativo

módulos
Matemáticas
secuencia exacta
álgebra abstracta

Rick88

Consideremos el siguiente diagrama de $R$ -módulos, cuando $R$ es un anillo conmutativo con unidad.

\begin{aligned} 0 \overset{}{\to} & METRO & \overset{tu}{\to} & norte & \overset{v}{\to} & q \to 0 \\ F & ↓ & gramo & ↓ & h & ↓ \\ 0 \to & {METRO}^{'} & \overset{{tu}^{'}}{\to} & {norte}^{'} & \overset{v^{'}}{\to} & q^{'} \to 0 \end{aligned}

$\begin{alignat}{3} 0 \xrightarrow{} &M &\xrightarrow{\;u\;} &\;N &\xrightarrow{\;v\;} &\; Q \rightarrow 0 \\ \llap{f}&\downarrow &\llap{g}&\downarrow &\llap{h}&\downarrow \\ 0 \rightarrow &M'& \xrightarrow{u'} &\;N' &\xrightarrow{v'}&\;Q' \rightarrow 0 \end{alignat}$ si los mapas

f : M \overset{}{\to} M^{'}

$f: M \xrightarrow{} M'$ y

h : Q \overset{}{\to} Q^{'}

$h : Q \xrightarrow{} Q'$ son isomorfismos y el mapa

g : N \overset{}{\to} N^{'}

$g : N \xrightarrow{} N'$ es un monomorfismo. Suponemos también que la primera línea es exacta y

Im (u^{'}) \subseteq Ker (v^{'})

$\operatorname{Im}(u') \subseteq \operatorname{Ker}(v')$ . Si el diagrama también es conmutativo, es decir

u^{'} f = g u

$u'f=gu$ y

v^{'} g = h v

$v'g=hv$ . Bajo estos supuestos, ¿es posible que la segunda línea no sea exacta, es decir, que exista

n^{'} \in Ker (v^{'}) ∖ Im (u^{'}) ?

$n' \in \operatorname{Ker}(v') \backslash \operatorname{Im}(u')?$

Capitán Lama

no asumes eso

u^{'}

$u'$ es inyectable o eso

v^{'}

$v'$ es sobreyectiva?

Rick88

Sí, supongo que u' es inyectiva y v' sobreyectiva.

Respuestas (1)

duda sobre diagrama conmutativo

no asumes eso $u'$ es inyectable o eso $v'$ es sobreyectiva?

mrtaurho · Answer 1

Sí, hay un ejemplo de esto. Llevar $M=M'=\mathbb Z=N=N'$ y $Q=Q'=\mathbb Z/2\mathbb Z$ todo como $\mathbb Z$ -módulos. Para la primera fila tomar como $u$ multiplicación por $2$ y como $v$ la proyección sobre el cociente. Para la segunda fila tomar como $u$ multiplicación por $6$ y como $v'$ de nuevo la proyección. Finalmente, toma como $g$ multiplicación por $3$ .

Como $3\equiv1\mod2$ el diagrama conmuta, la primera fila es exacta pero la segunda fila no lo es ya que $4\notin\operatorname{im}(u')$ pero $4\in\ker(v')$ . Por eso $\operatorname{im}(u')\subsetneq\ker(v')$ .

duda sobre diagrama conmutativo

Rick88

Capitán Lama

Rick88

Respuestas (1)

mrtaurho

Rick88

Dado un diagrama conmutativo, demuestre que δδ\delta es isomorfismo

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