¿Cómo se prueba una parte del Short Five Lema?

Dejar α , β , γ sea ​​un homomorfismo de sucesiones exactas cortas, en ese orden. Entonces sí α , γ son inyectivos, entonces también lo es β .

Sean las sucesiones:

0 → A → ψ B → ϕ C → 0     ↓ α   ↓ β     ↓ γ 0 → A ′ → ψ ′ B ′ → ϕ ′ C ′ → 0

Entonces desde ψ , ψ ′ , α son inyectables y β ψ = ψ ′ α , tenemos eso β es inyectable en ψ ( A ) .

Respuestas (1)

Me resistí a usar el libro, pero terminé recurriendo a él. Aquí está mi comprensión de la prueba.

Suponer β ( b ) = 0 . Entonces γ ϕ ( b ) = ϕ ′ β ( b ) = ϕ ′ ( 0 ) = 0 , entonces ϕ ( b ) = 0 por inyectividad de γ . Entonces ker ⁡ β ⊂ ker ⁡ ϕ = ψ ( A ) . Entonces nuestro b = ψ ( a ) para algunos a ∈ A . Conmutando diagramas de nuevo β ψ ( a ) = 0 = ψ ′ α ( a ) , y por inyectividad a = 0 , entonces b = ψ ( 0 ) = 0 . hemos terminado

¡Había más utilidad para el diagrama que no vi!

por qué suponemos β ( b ) = 0 ?
" ϕ ( b ) = 0 por inyectividad de γ "No entiendo esta declaración, ¿podría decirlo en detalle por favor?
@Emptymind Queremos demostrar que β es inyectable. Para hacer esto, intentamos mostrar que ker β es trivial Por lo tanto suponemos β ( b ) = 0 y mostrar que b es la identidad en B .
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