Cómo probar parte de la sobreyectividad de Short Five Lemma para secuencias exactas cortas.

Debería ser sencillo.

queremos probar$\beta$es sobreyectiva, por lo que se parte de un elemento arbitrario$b'\in B'$. Podemos hacer una cosa: considerar$c':=\phi'(b')\in C'$.
Desde$\gamma$es sobreyectiva, obtenemos$c$con$\gamma(c)=c'$.

que la pareja$\phi,0$de mapas es exacto no significa nada más que eso$\phi$es sobreyectiva. produce un elemento$b\in B$, tal que$\gamma\phi(b)=c'=\phi'(b')$.

Ahora puede que no consigamos$\beta(b)=b'$con este elemento$b$, sin embargo, tenemos que$\beta(b)$y$b'$tiene la misma imagen debajo$\phi'$, entonces por exactitud, esto da$a'\in A'$tal que$\psi'(a')=b' - \beta(b)$.

¿Puedes tomarlo desde aquí?

Gracias a Berci y Pedro Tamaroff.

Dejar$b' \in B'$. Entonces$\phi'(b') = c' \in C'$y por sobreyectividad de$\gamma$, hay$c \in C$con$\gamma(c) = \phi'(b')$y ahí está$b \in B$con$\phi(b) = c$. Entonces$\gamma\phi(b) = \phi'(b') = \phi'(\beta(b))$. Entonces$\beta(b) - b' \in \ker \phi' = \psi'(A') = \psi' \alpha(A)$. entonces hay$a \in A$de modo que$\psi'\alpha(a) = \beta(b) - b' = \beta \psi(a)$. Entonces claramente$b'$se puede escribir como la imagen del elemento$b - \psi(a)$bajo$\beta$. hemos terminado