Prueba de que el morfismo de conexión en el lema de la serpiente está bien definido

El lema de la serpiente dice: supongamos que tenemos dos secuencias exactas de$R$-módulos

$M_1 \xrightarrow{f_M} M_2 \xrightarrow{g_M} M_3 \rightarrow 0$

$0\rightarrow N_1 \xrightarrow{f_N} N_2 \xrightarrow{g_N} N_3$

con homomorfismos$\alpha_i : M_i \rightarrow N_i$para$1\leq i \leq 3$. Entonces existe un homomorfismo de conexión$\delta : \ker \alpha_3 \rightarrow \operatorname{coker} \alpha_1$tal que la secuencia inducida

$\ker \alpha_1 \rightarrow \ker\alpha_2\rightarrow\ker\alpha_3 \xrightarrow{\delta}\operatorname{coker}\alpha_1\rightarrow\operatorname{coker}\alpha_2\rightarrow \operatorname{coker}\alpha_3$

es exacto

He incluido mi prueba hasta ahora, pero tengo problemas para mostrar$\delta$está bien definido. El mapa se construye de la siguiente manera: tomar$x\in\ker\alpha_3$. Por exactitud de la primera sucesión$g_M$es un epimorfismo por lo que existe$y\in M_2$con$g_M (y)=x$, y dado que el diagrama (que desafortunadamente no he podido dibujar pero está en la página de Wikipedia) viaja al trabajo, tenemos$g_N (\alpha_2 (y)) = \alpha_3 (g_M (y)) = \alpha_3 (x) = 0$. Por lo tanto$\alpha_2 (y)\in\ker g_N=\operatorname{im} f_N$y por exactitud de la segunda sucesión$f_N$es un monomorfismo, por lo que existe un único$z\in N_1$con$f_N (z) = \alpha_2 (y)$. Definimos$\delta: \ker \alpha_3 \rightarrow \operatorname{coker} \alpha_1$por$x\mapsto z+\operatorname{im}\alpha_1$.

Mostrar$\delta$está bien definida, supongamos$x_1=x_2\in\ker\alpha_3$. Entonces nosotros tenemos$y_i\in M_2, z_i\in N_1$($i=1,2$) por la construcción anterior. Ahora$y_1 - y_2$también satisface$\alpha_2 (y_1 - y_2)\in\ker g_N$por lo que existe$z^*\in N_1$con$f_N (z^*) = \alpha(y_1-y_2) = f_N (z_1 - z_2)$; por inyectividad de$f_N$tenemos$z_1 = z_2 + z^*$. Entonces para mostrar$\delta$está bien definido tenemos que mostrar$z^*\in\operatorname{im}\alpha_1$.

¿Alguien podría darme algún consejo sobre cómo hacer esto? ¡Muchas gracias!