¿El conmutador euclidiano QFT se desvanece para todas las separaciones del espacio-tiempo?

Question

¿El conmutador euclidiano QFT se desvanece para todas las separaciones del espacio-tiempo?

Física
causalidad
conmutador
rotación de mecha
greens-funciones
teoría cuántica de campos

usuario143410

En el espacio-tiempo de Minkowski, el conmutador del operador de campo de Klein-Gordon consigo mismo en diferentes puntos del espacio-tiempo se evalúa como la función de Green avanzada menos retrasada de la teoría clásica,

\begin{aligned} [ϕ (X), ϕ (y)] = ⟨ 0 | [ϕ (X), ϕ (y)] | 0 ⟩ = {GRAMO}_{A} (X - y) - {GRAMO}_{R} (X - y), \end{aligned}

$\begin{align} [\phi (x),\phi (y)]=\langle 0|[\phi (x),\phi (y)]|0\rangle =G_A(x-y)-G_R(x-y), \end{align}$ que se desvanece por separaciones espaciales. [Utilizo la convención de que las funciones de KG Green están definidas por

(\partial^{2} + m^{2}) G (x - y) = - i δ^{(4)} (x - y)

$(\partial^2+m^2)G(x-y)=-i\delta^{(4)}(x-y)$ .]

debido a la $SO(4)$ -isometrías del espacio-tiempo euclidiano, no existe una noción invariable de la dirección del tiempo y, de hecho, todas las separaciones son similares al espacio. Por esta razón, esperaría ingenuamente que la función Euclidean KG Green (que desaparece en el infinito) sea única, es decir, no hay funciones "avanzadas" o "retrasadas" de Euclidean Green, y el conmutador de campo debería, entonces, desaparecer para $all$ Separaciones espaciotemporales euclidianas.

Más explícitamente, la función euclidiana de 2 puntos es como

\begin{aligned} ⟨ 0 | ϕ (X) ϕ (y) | 0 ⟩ = \int \frac{d^{4} pag}{(2 π)^{4}} \frac{{mi}^{i pag \cdot (X - y)}}{{pag}^{2} + {metro}^{2}}, \end{aligned}

$\begin{align} \langle 0|\phi (x)\phi(y) |0\rangle=\int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}\frac{e^{ip\cdot(x-y)}}{p^2+m^2}, \end{align}$ por lo que el conmutador euclidiano es

\begin{aligned} [ϕ (X), ϕ (y)] = \int \frac{d^{4} pag}{(2 π)^{4}} {\frac{{mi}^{i pag \cdot (X - y)}}{{pag}^{2} + {metro}^{2}} - \frac{{mi}^{- i pag \cdot (X - y)}}{{pag}^{2} + {metro}^{2}}} = 0, \end{aligned}

$\begin{align} [\phi (x),\phi(y)]=\int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}\left\{\frac{e^{ip\cdot(x-y)}}{p^2+m^2}-\frac{e^{-ip\cdot(x-y)}}{p^2+m^2}\right\}=0, \end{align}$ donde la última igualdad se deriva del hecho de que la medida del "volumen" del impulso es invariante bajo

p \to - p

$p\to -p$ en el espacio-tiempo euclidiano.

¿Es correcta esta conclusión y razonamiento?

Seid oscuro

No estoy seguro de qué tipo de respuesta espera para esto, pero el razonamiento me parece correcto si es importante.

usuario143410

@Darkseid Lo siento, si mis intenciones fueron ambiguas de alguna manera. He visto declaraciones sobre el conmutador en Minkowski explícitamente en muchas fuentes, y discusiones correspondientes sobre la causalidad, pero no puedo encontrar una referencia que dé un tratamiento análogo para la teoría euclidiana. Estaba realmente inseguro y tratando de razonar lo que debería ser.

Respuestas (2)

¿El conmutador euclidiano QFT se desvanece para todas las separaciones del espacio-tiempo?

No estoy seguro de qué tipo de respuesta espera para esto, pero el razonamiento me parece correcto si es importante.
@Darkseid Lo siento, si mis intenciones fueron ambiguas de alguna manera. He visto declaraciones sobre el conmutador en Minkowski explícitamente en muchas fuentes, y discusiones correspondientes sobre la causalidad, pero no puedo encontrar una referencia que dé un tratamiento análogo para la teoría euclidiana. Estaba realmente inseguro y tratando de razonar lo que debería ser.

Edwin Steiner · Answer 1

Dudo que su razonamiento pase sin salvedades. Es cierto que cuando continúas analíticamente la función de dos puntos del espacio- tiempo de Minkowski al tiempo imaginario, obtienes una función (la función de Schwinger de dos puntos $S(x,y)$ ) que es simétrico en los dos puntos euclidianos del espacio-tiempo y es covariante con respecto a las isometrías euclidianas. Así que si defines

[ϕ (X), ϕ (y)] := S (X, y) - S (y, X)

$[\phi (x),\phi(y)]:=S(x,y)-S(y,x)$ para

x

$x$ ,

y

$y$ siendo puntos de espacio-tiempo euclidianos, entonces tienes

[ϕ (x), ϕ (y)] = 0

$[\phi (x),\phi(y)]=0$ .

Sin embargo, no me queda claro que el lado izquierdo de la definición anterior pueda interpretarse como el conmutador de dos operadores bien definidos (o distribuciones valoradas por operadores). Por ejemplo, deja $\phi$ ser un campo escalar libre, definido inicialmente en el espacio-tiempo de Minkowski por su expansión modal

ϕ (t, X) = \int \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3}} \frac{1}{\sqrt{2 ω (k)}} (a (k) {mi}^{- i ω t + i k \cdot X} + a^{†} (k) {mi}^{i ω t - i k \cdot X}) .

$\phi(t,\mathbf{x})=\int\frac{d^{3}k}{(2\pi)^{3}}\frac{1}{\sqrt{2\omega(\mathbf{k})}}\left(a(\mathbf{k})e^{-i\omega t+i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}+a^{\dagger}(\mathbf{k})e^{i\omega t-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\right).$

Si continuamos formalmente con esto $t=-i\tau$ , vemos que los modos de frecuencia positiva (negativa) divergen mucho para $\tau<0$ ( $\tau>0$ ). (Nota: este comportamiento divergente de los modos para tiempos imaginarios también cuestiona sus manipulaciones de la representación integral del conmutador).

Todavía se pueden dar sentido a expresiones como $\langle 0|\phi (-i\tau_2,\mathbf{x}_2)\phi(-i\tau_1,\mathbf{y}_1) |0\rangle$ mientras $\tau_2>\tau_1$ y se entiende que las integrales de cantidad de movimiento se toman solo al final. Usando este formalismo, se puede equiparar esta expresión a una integral de trayectoria en el espacio-tiempo euclidiano con dos "inserciones de operadores":

⟨ 0 | ϕ (- i τ_{2}, X_{2}) ϕ (- i τ_{1}, X_{1}) | 0 ⟩ = \frac{\int D ϕ Exp (- S_{mi} [ϕ]) ϕ (X_{2}) ϕ (X_{1})}{\int D ϕ Exp (- S_{mi} [ϕ])}

$\langle 0|\phi (-i\tau_2,\mathbf{x}_2)\phi(-i\tau_1,\mathbf{x}_1) |0\rangle = \frac{\int \mathcal D \phi \exp{\left(-S_E[\phi]\right)\phi(x_2)\phi(x_1)}}{\int \mathcal D \phi \exp{\left(-S_E[\phi]\right)}}$

La integral de trayectoria se ocupa automáticamente de la ordenación en tiempo imaginario y, por lo tanto, podemos usarla para extender el significado del lado izquierdo a arbitrariamente $\tau$ -ordenación, que nos da la función de dos puntos de Schwinger para este campo expresada como una integral de trayectoria. Aún así, esto no significa que le hayamos dado sentido al operador de campo por sí mismo para tiempos imaginarios distintos de cero.

La ordenación temporal euclidiana automática realizada por la integral de trayectoria nos impide utilizarla para calcular los elementos generales de la matriz del conmutador de campo para tiempos euclidianos desiguales. Quizás esta sea la razón por la que normalmente no se encuentra un cálculo de este conmutador para el espacio-tiempo euclidiano en los libros de texto. (Al menos no encontré ninguno en los textos que tengo disponibles).

Para teorías de campos conformes bidimensionales, se encuentran cálculos de conmutadores $[T,\phi(y)]$ entre el campo $\phi$ y una carga conservada $T$ haciendo uso de la expansión del producto del operador (OPE) en el espacio-tiempo euclidiano ([1], [2]). Dichos conmutadores pueden ser distintos de cero incluso si el operador $T$ se construye a partir del campo y sus derivados. Su conclusión de que el conmutador $[\phi(x), \phi(y)]$ es idénticamente cero en el espacio-tiempo euclidiano también implicaría que todos los conmutadores de cantidades construidos a partir de los campos y sus derivados desaparecen en el espacio-tiempo euclidiano, ¿no es así?

Schwinger mencionó la posibilidad formal de construir operadores de campo totalmente (anti)conmutadores para el espacio-tiempo euclidiano al final de [3]. No estoy seguro de qué hacer con eso.

Se ha discutido una pregunta relacionada sobre operadores de campo y funciones de dos puntos en el espacio-tiempo euclidiano en mathoverflow: https://mathoverflow.net/q/237647

[1] K. Becker, M. Becker, JH Schwarz. Teoría de cuerdas y teoría M: una introducción moderna. Prensa de la Universidad de Cambridge, 2007. pág. 64f.

[2] J. Polchinski. Teoria de las cuerdas. vol. 1 Introducción a la cuerda bosónica. Prensa de la Universidad de Cambridge, 1998. pág. 55.

[3] J. Schwinger, 1958. Formulación euclidiana de cuatro dimensiones de la teoría cuántica de campos. Actas, Conferencia: C58-06-30, p.134-140.

usuario1504 · Answer 2

Sí, los conmutadores euclidianos desaparecen.

Esto es bastante obvio en el formalismo de la integral de trayectoria: puede calcular los elementos de la matriz del conmutador a partir de las funciones de correlación: $\langle \hat{\phi}(x)\hat{\phi}(y) ... \rangle = \int \phi(x)\phi(y) ... e^{-S(\phi)}d\phi$ . La integral involucra solo variables de conmutación, por lo que puede cambiar $x$ y $y$ .

La conexión entre las funciones de correlación euclidiana y las de Minkowski es ligeramente sutil. Las funciones de correlación euclidiana son funciones analíticas de varias variables $x$ , $y$ , y puede extenderse a la complejización de un producto cartesiano de varias copias del espacio euclidiano. Los correspondientes productos cartesianos del espacio de Minkowski también se encuentran dentro de esta complejización. Las funciones de correlación de Minkowski son, de hecho, valores límite de la extensión analítica de las funciones de correlación euclidiana. Pero qué ordenamiento temporal de las funciones de correlación de Minkowski obtiene depende de cómo se acerque al límite.

No estoy seguro de cómo el formalismo de integral de ruta hace que esto sea "obvio" para el caso euclidiano. Sabemos que no viajan en Minkowski en separaciones temporales, pero eso no es obvio para mí según su explicación integral de la ruta actual.
¿Por qué esto no es obvio? La integral de trayectoria euclidiana implica solo conmutar cantidades. (Es una teoría de campos estadísticos). Así que puedes permutar libremente los observables. No hay nada más que eso.
La integral de ruta de Minkowski también solo implica conmutar cantidades (los campos son solo funcionales dentro de la integral de ruta) y, sin embargo, los campos de Minkowski NO conmutan en separaciones temporales dentro de funciones de correlación. Por lo tanto, no es del todo obvio para mí cómo escribir la fórmula de la integral de camino ayuda a uno a ver que los campos euclidianos SÍ conmutan en todas las separaciones. Usted está reclamando lo que se debe mostrar.
Veo a lo que te opones. Mi respuesta es que las integrales de ruta de Minkowski en realidad no existen de la misma manera que las euclidianas, y que la manipulación formal que estás describiendo no es válida. Para definirlos, debe agregar información adicional de regularización (por ejemplo, el $+i\epsilon$ prescripción). Esta información de regularización adicional codifica la no conmutatividad y, en general, resulta ser equivalente a especificar en qué rama de la extensión analítica de la función de correlación euclidiana se encuentra.
@ user1504 Creo que sería de gran ayuda si pudiera incluir cómo surge exactamente la no conmutatividad a través de este mecanismo en su respuesta.
@SolenodonParadoxus: debería ser fácil ver en el nivel de la teoría de la perturbación que $+i\epsilon$ y $-i\epsilon$ conduce a diferentes órdenes de tiempo. Esta es la historia general. Para más detalles, tendrás que buscar en Streater & Wightman.
Permítanme agregar también: estoy bastante molesto. Di una respuesta correcta en el caso euclidiano, que es de lo que se trata la pregunta. Y aparentemente estoy siendo rechazado porque la gente está confundida por el caso más sutil de Minkowski.
Has abordado satisfactoriamente mi objeción anterior, que ahora me doy cuenta de que se basó en una interpretación demasiado literal de la fórmula de la integral de trayectoria de Minkowski.

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