¿El axioma de elección viola la ley del tercero excluido?

Depende de lo que entiendas por "teoría de conjuntos". ZF no es la única forma de formalizar la teoría de conjuntos (aunque, por supuesto, es la más aceptada). Cf. este extracto de la entrada de Wikipedia sobre la AoC , en el contexto de las matemáticas constructivas:

Sin embargo, en la teoría de conjuntos constructiva, el teorema de Diaconescu muestra que el axioma de elección implica la ley del tercero excluido (a diferencia de la teoría de tipos de Martin-Löf, donde no lo hace). Por lo tanto, el axioma de elección generalmente no está disponible en la teoría de conjuntos constructiva. Una causa de esta diferencia es que el axioma de elección en la teoría de tipos no tiene las propiedades de extensionalidad que tiene el axioma de elección en la teoría constructiva de conjuntos.

Algunos resultados en la teoría de conjuntos constructiva utilizan el axioma de elección contable o el axioma de elección dependiente, que no implican la ley del tercero excluido en la teoría de conjuntos constructiva. Aunque el axioma de elección contable en particular se usa comúnmente en matemáticas constructivas, su uso también ha sido cuestionado.

También podría estar interesado en leer la sección " Variantes " de la página de nLab en AoC, y esta cita de la página de nLab en 'topos' :

La lógica interna de los topos es una lógica intuicionista de orden superior. Esto significa que, si bien la ley del tercero excluido y el axioma de elección pueden fallar, aparte de eso, cada enunciado lógico que no dependa de estos se mantiene interno a cada topos.

Entonces, además del comentario de @ celtschk de que la respuesta "depende de lo que crea que describe la teoría de conjuntos", también depende de la teoría de conjuntos específica en la que uno está trabajando.

Depende de lo que creas que describe la teoría de conjuntos. Si cree que la teoría de conjuntos describe algún tipo de estructura existente de forma independiente (conjuntos que existen independientemente de la teoría de conjuntos), entonces, por supuesto, para esa estructura existente de forma independiente, el axioma de elección se cumple o no.

Sin embargo, una opinión diferente es que los conjuntos se definen por la teoría de conjuntos en el mismo sentido en que los elementos de grupo se definen por la teoría de grupos. En la teoría de grupos, la afirmación "existe un elemento de grupo del cual ninguna potencia positiva es la identidad" (llamémosla la "hipótesis de orden infinito") es independiente de los axiomas de grupo. Sin embargo, nadie lo consideraría un problema; simplemente significa que hay modelos de teoría de grupos (es decir, grupos) donde la "hipótesis de orden infinito" es verdadera (como el grupo aditivo de números enteros), y hay otros donde la "hipótesis de orden infinito" es falsa (como grupo aditivo de los enteros módulo 3).

Sin embargo, tenga en cuenta que incluso si asume que hay algunos "conjuntos verdaderos" independientes de la teoría de conjuntos ZF que la teoría de conjuntos pretende describir, entonces la independencia de AC de los axiomas de la teoría de conjuntos ZF no viola la ley del medio excluido. Simplemente significa que no son suficientes para describir todos los aspectos de esos "conjuntos verdaderos"; en particular, no permiten decidir si todos los conjuntos admiten una función de elección.

Tenga en cuenta que también el axioma del infinito es independiente de los otros axiomas de la teoría de conjuntos; es consistente suponer que solo hay conjuntos finitos hereditarios (es decir, conjuntos finitos cuyos elementos también son finitos, como lo son los elementos de sus elementos, etc.). Si piensa que la teoría de conjuntos describe algunos "conjuntos verdaderos", entonces también puede preguntarse si el axioma del infinito se cumple para entonces (es decir, si realmente hayexisten conjuntos infinitos). Sin embargo, si considera que la teoría de conjuntos simplemente describe una clase de modelos, entonces la teoría de conjuntos con infinito solo describe una subclase específica de modelos (a saber, aquellos que en realidad tienen conjuntos infinitos), y luego agregar el axioma de elección nuevamente describe una subclase específica. subclase de esos modelos (a saber, la clase de modelos donde todos los conjuntos tienen una función de elección), no muy diferente de cómo la teoría de grupos abelianos describe una subclase de los modelos (grupos) que describe la teoría de grupos (a saber, la subclase de grupos cuya operación de grupo es conmutativo).