El Álgebra de Límites - Regla del producto

Entonces, en algún lugar de la prueba, terminas con:

$$|a_nb_n-\ell m| \lt \frac{\epsilon}{2M} \cdot M + \color{blue}{\frac{\epsilon}{2(1+|\ell|)}}\cdot |\ell| \leq \epsilon.$$ donde la expresión azul es un límite superior para $|b_n-m|$.

Desde$b_n \to m$, este factor puede hacerse arbitrariamente pequeño y$\frac{\epsilon}{2|\ell|}$haría el truco, pero esto requeriría una excepción en el caso en que$\ell=0$. Puede evitar esto eligiendo el límite superior en azul, agregando el "$+1$"para evitar que el denominador se convierta en$0$.

Primero,$\forall \varepsilon>0, \exists n_0\mid \forall n>n_0.\ |a_n-\ell|<\varepsilon_1$

Tienes

$$|a_nb_n-\ell m|=|a_nb_n-b_n\ell+b_n\ell-\ell m|=|b_n(a_n-\ell)+\ell(b_n-m)|$$ Ahora, por la desigualdad triangular $$|a_nb_n-\ell m|\le |b_n||a_n-\ell|+|\ell||b_n-m|$$ Lo sabemos $|a_n-\ell|<\varepsilon_1$y $|b_n-m|<\varepsilon_2$y $b_n$está acotado, es decir, tenemos $$|a_nb_n-\ell m|< M\varepsilon_1+|\ell|\varepsilon_2$$ Elegir $\varepsilon_1<\dfrac{\varepsilon}{2M}$y $\varepsilon_2<\dfrac{\varepsilon}{2|\ell|}$daré $|a_nb_n-\ell m|<\varepsilon$. Queremos evitar dividir por $0$, por lo que elegimos $\varepsilon_2=\dfrac{\varepsilon}{2(|\ell|+1)}$.