Prueba del teorema de Rolle en Apostol: significado del interior

De acuerdo con el enunciado del teorema de Rolle en el cálculo de Apostol 1, necesitamos tener una función continua en S = [ a , b ] , y esta función debe tener una derivada en el interior de S . No entiendo esta condición.

a) ¿Por qué la derivada está restringida al interior? ¿La derivada correcta no asegura la continuidad correcta?

b) Como resultado, la prueba asegura que hay algo C , calle a < C < b , dónde F ′ ( C ) = 0 . Sin embargo, ¿por qué no tratar de probar a ≤ C ≤ b ?

Parte histórica de la pregunta: en Apostol, el teorema de Rolle se usa para probar el teorema del valor medio, que a su vez se usa para probar las propiedades de convexidad de las derivadas, y hay un gran problema con los extremos: supongamos que la derivada 𝑓′(𝑥) es estrictamente positiva en (𝑎,𝑏), entonces la función es estrictamente creciente en [𝑎,𝑏]. Esta es la conclusión de los teoremas de Rolle -> valor medio anteriores en la siguiente sección de Apostol. ¡Pero el teorema de Rolle no especifica los extremos 𝑎 y 𝑏 como lugares válidos para la derivada cero! Parece no probado que la función 𝑓(𝑥) sea creciente en [𝑎,𝑏], cuando puede ser, por ejemplo, decreciente en el punto 𝑎 y creciente en el interior.

Respuestas (3)

a) Dado que suponiendo únicamente que la restricción de F a ( a , b ) es diferenciable es suficiente para probar el teorema de Rolle, ¿por qué alguien agregaría la hipótesis adicional de que F también es diferenciable en a y en b ?

b) Tenga en cuenta que ∃ C ∈ ( a , b ) es más fuerte que ∃ C ∈ [ a , b ] .

Sí, lo pensé durante unos minutos. En realidad no lo pensé de esta manera. Si de hecho funciona para (a, b), también debería funcionar para [a, b]. De alguna manera mi cerebro no hizo esta conexión. Gracias.
Me alegro de poder ayudar.

El requisito de que F ′ ( a ) y F ′ ( b ) también existir hace que la premisa sea innecesariamente fuerte. Permitiendo C = a o C = b hace que la conclusión sea innecesariamente débil. Por lo tanto, ambos cambios debilitan el teorema.

¿Podría elaborar un poco sobre el debilitamiento de la conclusión? No obtuve la segunda parte de la respuesta: ¿por qué es débil establecer c = a?
El teorema de @ John Rolle es de la forma PAG → q . reemplazando PAG con PAG ∧ R y/o q con q ∨ S es un debilitamiento. Aquí, PAG es " F es continuo [ a , b ] y diferenciable en ( a , b ) a norte d f(a9=f(b) " , q i s existe C ∈ ( a , b ) con F ′ ( C ) = 0 , R es " F es (también) diferenciable en a y b ", y S es "existe C ∈ { a , b } con F ′ ( C ) = 0 "

En cuanto a la parte histórica, en particular "Se siente no probado que la función F ( X ) está aumentando en [ a , b ] , cuando puede ser por ejemplo decreciente en un punto a , y aumentando aún más en el interior".

Cómo se "siente" realmente no importa. ¿Cuál es el problema real con la prueba?

Asumiendo que la prueba en Apostol es la estándar:

Teorema Supongamos F es continua en [ a , b ] , diferenciable en ( a , b ) , y F ′ > 0 en ( a , b ) . Entonces F está aumentando en [ a , b ] .

Prueba: Necesitamos demostrar que si a ≤ α < β ≤ b entonces F ( α ) < F ( β ) . Desde F es continua en [ α , β ] y diferenciable en ( α , β ) , MVT muestra que existe C ∈ ( α , β ) ⊂ ( a , b ) con

F ( β ) − F ( α ) = ( β − α ) F ′ ( C ) .
Desde β − α > 0 y F ′ ( C ) > 0 esto muestra que F ( β ) − F ( α ) > 0 . QED.

El hecho de que F es quizás no diferenciable en a y b simplemente no importa.

Sí, si tuviéramos F satisfaciendo todas esas condiciones y también F ′ ( a ) < 0 Eso sería un problema. Pero no hay tal F .

Sí, eliminé esa parte de la pregunta. Es exactamente esta prueba la que se da en Apostol. Solo pensé algo así como "¿qué pasa si c cae en a o b". Pero es exactamente como escribes: si MVT se prueba para el interior, también es cierto automáticamente para el intervalo cerrado. Entonces todo cae en su lugar.
@John Sí, lo eliminaste. Realmente no deberías hacer eso después de que haya sido respondido.
Desafortunadamente, su respuesta aún no se publicó cuando estaba eliminando esa parte. ¡Lo devolví para que su respuesta corresponda completamente a la pregunta, y gracias por ayudar! :)
@Juan Oh. Lo siento...
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