Pregunta sobre una prueba del Teorema Fundamental del álgebra

Teorema: (Teorema Fundamental del Álgebra): Dado cualquier número entero positivo$n \geq 1$y cualquier elección de números complejos$a_0,a_1,..., a_n$, tal que$a_n \neq 0$, la ecuación del polinomio

$(1) \quad a_n z_n +···+ a_1 z + a_0 = 0$

tiene al menos una solución$z \in \mathbb{C}$.

Extracto de prueba: para nuestro argumento, nos basamos en el hecho de que la función$|f(z)|=|a_n z^n+...+a_1 z+a_0|$alcanza su valor mínimo. Dejar$z_0 \in \mathbb{C}$ser un punto donde se alcanza el mínimo. Mostraremos que si$f(z_0) \neq 0$, entonces$z_0$no es un mínimo, demostrando así por contraposición que el valor mínimo de$|f(z)|$es cero Por lo tanto,$f(z_0) = 0$. Si$f(z_0) \neq 0$, entonces podemos definir una nueva función$g : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$configurando

$g(z)=\frac{f(z+z_0)}{f(z_0)}$, para todos$z \in \mathbb{C}$.

Tenga en cuenta que$g$es un polinomio de grado$n$, y que el mínimo de$|f(z)|$se alcanza en$z_0$si y solo si el mínimo de$|g|$se alcanza en$z = 0$. Además, es claro que$g(0) = 1$. Más explícitamente,$g$viene dada por un polinomio de la forma

$(2) \quad g(z)=b_n z^n+...+b_k z^k+1$

con$n \geq 1$y$b_k \neq 0$para algunos$1 \leq k \leq n$. Dejar$b_k=|b_k| e^{i \theta}$y considera$z$de la forma

$(3) \quad z=r |b_k|^{-1/k} e^{i (\pi - \theta)/k}$,

con$r>0$. Para$z$de esta forma tenemos

$g(z)=1-r^k+r^{k+1} h(r)$

dónde$h$es un polinomio.

El resto de la prueba no es relevante para mis preguntas.

i) ¿Cómo sabemos que$g(z)$tiene la forma dada en$(2)$? Lo sabemos$g(0)=1$, por lo que es claro que la constante debe ser$1$. También está claro que el poder supremo es$n$ya que básicamente cambiamos la escala$f(z)$por un factor de$f(z_0)$después de traducirlo por$z_0$. Pero ¿por qué debe$g$tiene esta forma específica? ¿Qué saldría mal si simplemente dejáramos$k=1$? Creo que el punto principal es que al hacer esta transformación de$f$a$g$algunas potencias con coeficientes distintos de cero$a_j$podría abandonar, pero esto no puede suceder para$a_n$.

ii) El texto menciona$b_k=|b_k|e^{i \theta}$, que creo que es simplemente la representación del número complejo$b_k$utilizando coordenadas polares. Similarmente,$(3)$especifica un número complejo$z$por sus coordenadas polares. ¿Es correcto este entendimiento?

Esto es lo último que necesito entender para finalmente entender por qué el Teorema Fundamental del Álgebra es verdadero.

¡Muchas gracias por cualquier ayuda!