Pregunta sobre la demostración del teorema del límite de Abel

Permitir ∑ k = 0 ∞ a k X k una serie de potencias con a k ∈ R , radio de convergencia 0 < R < ∞ y supongamos que ∑ k = 0 ∞ a k R k existe

Entonces, el teorema del límite de Abel establece:

límite X → R − ∑ k = 0 ∞ a k X k = ∑ k = 0 ∞ a k R k (continuidad desde la izquierda).

He trabajado en la prueba y lo he conseguido hasta ahora, excepto que nuestro profesor comienza con la simplificación "sin pérdida de generalidad asumimos R = 1 ". Debido a esta suposición, todas las manipulaciones posteriores se vuelven mucho más fáciles. Pero, ¿por qué se le permite asumir eso?

¿No se requiere que el a k ¿se real?
@saulspatz sí, he agregado esto a la pregunta.

Respuestas (2)

Si podemos mostrar esto para un radio de 1 , entonces podemos mostrar

(1) límite X → R − ∑ k = 0 ∞ a k X k = límite X → R − ∑ k = 0 ∞ ( a k R k ) X k R k (2) = límite tu → 1 − ∑ k = 0 ∞ ( a k R k ) tu k (3) = ∑ k = 0 ∞ ( a k R k )
Explicación:
( 1 ) : 1 = R k R k
( 2 ) : sustituto tu = X R
( 3 ) : aplicar el teorema para un radio de 1

Supongamos que el teorema es cierto para R = 1 . Ahora deja R > 0 , y para | X | < R escribir X = R y , con | y | < 1 .

Tenemos límite X → R − ∑ a k X k = límite y → 1 − ∑ a k R k y k = ∑ a k R k porque a k R k es real y ∑ a k R k converge

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