Secuencia en RRR sin subsecuencia convergente.

Question

Secuencia en RRR sin subsecuencia convergente.

Matemáticas
análisis real
prueba-explicación
secuencias y series

usuario_hola1

¿Cómo es correcta la siguiente demostración?

Reclamo: Si $S$ es un subconjunto ilimitado no vacío de R, entonces existe una secuencia $(s_n)$ con valores en $S$ que no tiene subsecuencias convergentes.

Prueba: Desde $S$ es ilimitado, para todos $n$ , existe $s_n \in S$ de modo que $|s_n| > n$ (ya que si no $S$ estaría acotado arriba por $n$ y delimitado por abajo por $-n$ , por lo tanto acotado). Suponer que $(s_{n_k})$ es una subsecuencia convergente de $(s_n)$ . Entonces $(s_{n_k})$ está ligado. Entonces, existe $M$ tal que $|s_{n_k} | \leq M$ para todos $k \in N$ . Sin embargo, si elegimos $k \in N$ de modo que $k \geq M$ , entonces $|s_{n_k} | > n_k ≥ k ≥ M$ , entonces $|s_{n_k}| > M$ . Contradicción.

Esto me parece erróneo. Supongamos que mi subsecuencia fuera que $s_{n_1} = s_2, s_{n_2} = s_1, s_{n_3} = s_4, s_{n_4} = s_3, \dots$

Respuestas (2)

Secuencia en RRR sin subsecuencia convergente.

jose carlos santos · Answer 1

Esa prueba es correcta. No lo olvides, para que $(s_{n_k})_{k\in\Bbb N}$ es una subsecuencia, la secuencia $(n_k)_{k\in\Bbb N}$ debe ser una sucesión estrictamente creciente de números naturales. Por lo tanto, sí, $n_1\geqslant1$ , $n_2\geqslant 2$ , etcétera…

kam · Answer 2

Tenga en cuenta que en la primera línea de la prueba, debe ser que para cada $n$ existe un $N\in{\mathbb{N}}$ calle $|s_N|>n$ .

por ejemplo, tomar la secuencia ilimitada $s_n=\frac{n}{2}$ . claramente $s_n$ es ilimitado pero $|s_n|=\frac{n}{2}\not>n$ para todos $n$ .

Secuencia en RRR sin subsecuencia convergente.

usuario_hola1

Respuestas (2)

jose carlos santos

kam

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