Ejercicio 4 Álgebra de Hungerford IV.3.

Los cuatro elementos del Ejercicio 4 de la página 189 del libro de Álgebra de Hungerford se pueden resolver esencialmente aplicando las definiciones.

Para el punto (c) : Tenemos dos operaciones en$A/pA$

1. para todos$a+ pA$y$b + pA \in A/pA$,$(a+ pA) + (b + pA) = a+b +pA$
2. para todos$r+(p) \in R/(p)$y$a + pA \in A/pA$,$(r+(p))(a + pA) = ra +pA$.

Es fácil probar que esas dos operaciones están bien definidas. Eso significa:

1. si$a+ pA = a'+ pA$y$b + pA = b' + pA$entonces$a+b +pA = a'+b' +pA$
2. si$r+(p)=r'+(p)$y$a+ pA = a'+ pA$entonces$ra +pA = r'a' +pA$.

Luego, verifique que esas dos operaciones satisfagan los axiomas del espacio vectorial.

Para el punto (d) : Las operaciones son:

1. si$a, b \in A[p]$, entonces$a+b$es solo la adición en$A$.
2. para todos$r+(p) \in R/(p)$y$a \in A[p]$,$(r+(p))a = ra$.

Es fácil probar que las operaciones están bien definidas:

1. si$a, b \in A[p]$, entonces$pa=pb=0$. Entonces$p(a+b)= pa+pb=0$. Entonces$a+b \in A[p]$.
2. $r+(p)=r'+(p)$y$a \in A[p]$, tenemos eso$r-r' \in (p)$. Entonces alli esta$k \in R$tal que$r-r'=kp$. Entonces,$ra-r'a = (r-r')a = kpa = 0$. Entonces$ra=r'a$.

Luego, verifique que esas dos operaciones satisfagan los axiomas del espacio vectorial.