Cinco lemas cortos y un contraejemplo: diagrama conmutativo

Question

Cinco lemas cortos y un contraejemplo: diagrama conmutativo

módulos
Matemáticas
persiguiendo diagramas
álgebra abstracta
grupo-isomorfismo
solución-verificación

Ejrionm

Digamos que tenemos el siguiente diagrama

\begin{matrix} 0 & \overset{}{\to} & A & \overset{}{\to} & B & \overset{}{\to} & C & \overset{}{\to} & 0 \\ α ↓ & β ↓ & γ ↓ \\ 0 & \overset{}{\to} & A^{'} & \overset{}{\to} & B^{'} & \overset{}{\to} & C^{'} & \overset{}{\to} & 0 \end{matrix}

$\require{AMScd}\begin{CD} 0 @>>> A @>>> B @>>> C @>>> 0\\ {} @V{\alpha}VV @V{\beta}VV @V{\gamma}VV {} \\ 0 @>>> A' @>>> B' @>>> C' @>>> 0 \end{CD}$ donde las filas superior e inferior son exactamente cortas, por lo que si

f : A \to B

$f: A \rightarrow B$ y

f^{'} : A^{'} \to B^{'}

$f': A' \rightarrow B'$ son inyectables y

g : B \to C

$g:B \rightarrow C$ ,

g^{'} : B^{'} \to C^{'}

$g': B' \rightarrow C'$ sobreyectivas, entonces

Im (f) = ker (g)

$\text{Im}(f)= \text{ker}(g)$ y

Im (f^{'}) = ker (g^{'})

$\text{Im}(f')= \text{ker}(g')$ . El lema corto de cinco dice que si el diagrama es conmutativo y

α

$\alpha$ y

γ

$\gamma$ son módulos isomorfismos, entonces

β

$\beta$ es un isomorfismo.

¿Es cierto que si $A \simeq A'$ y $C \simeq C'$ entonces hay un isomorfismo $\beta :B \rightarrow B'$ tal que el diagrama es conmutativo? La pista es: dejar $A = A' = \mathbb{Z}_2$ , $C = C' = \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2$ y $B = B' = \mathbb{Z}_4 \oplus \mathbb{Z}_2$ con $\alpha = \gamma = id$ y

gramo (a modificación 4, b modificación 2) = (a modificación 2, b modificación 2) {gramo}^{'} (a modificación 4, b modificación 2) = (b modificación 2, a modificación 2) .

$g(a \text{ mod }4, b\text{ mod }2) = (a\text{ mod }2,b\text{ mod }2) \\ g'(a\text{ mod }4, b\text{ mod }2) = (b\text{ mod }2,a\text{ mod }2).$ Encuentra dos morfismos inyectivos

f, f^{'} : Z_{2} \to Z_{4} \oplus Z_{2}

$f,f': \mathbb{Z}_2 \rightarrow \mathbb{Z}_4 \oplus \mathbb{Z}_2$ tal que la fila superior e inferior son exactas pero no hay isomorfismo

β : Z_{4} \oplus Z_{2} \to Z_{4} \oplus Z_{2}

$\beta: \mathbb{Z}_4 \oplus \mathbb{Z}_2 \rightarrow \mathbb{Z}_4 \oplus \mathbb{Z}_2$ tal que el diagrama es conmutativo.

Entonces, para mi prueba, comencé por encontrar

ker (gramo) = ker ({gramo}^{'}) = {(0, 0), (2, 0)},

$\text{ker}(g) = \text{ker}(g') = \left\{(0,0), (2,0) \right\},$ aquí quiero decir

(0, 0) = ([0], [0])

$(0,0) = ([0],[0])$ las clases correspondientes. Entonces, las funciones

f, f^{'}

$f,f'$ que satisface las condiciones son

f = f^{'}

$f=f'$ tal que

f (0) = (0, 0), f (1) = (2, 0)

$f(0) = (0,0), f(1) = (2,0)$ (porque

Im (f) = ker (g)

$\text{Im}(f)=\text{ker}(g)$ ). Ahora, supongamos que hay un isomorfismo

β : Z_{4} \oplus Z_{2} \to Z_{4} \oplus Z_{2}

$\beta: \mathbb{Z}_4 \oplus \mathbb{Z}_2 \rightarrow \mathbb{Z}_4 \oplus \mathbb{Z}_2$ tal que el diagrama es conmutativo. Entonces

β \circ f = f^{'} \circ α

$\beta \circ f = f' \circ \alpha$ es decir,

β \circ f = f

$\beta \circ f = f$ . Entonces debo demostrar que

g = g^{'} \circ β

$g=g' \circ \beta$ no aguanta Ahora mi maestro dijo que como solo hay

4

$4$ posible

β

$\beta$ isomorfismos, esto se puede hacer a mano (es fácil si

β = i d

$\beta = id$ porque

g \neq g^{'}

$g \neq g'$ ). Mi pregunta es, ¿hay alguna manera de completar la prueba sin verificar la condición de todos los isomorfismos posibles?

β

$\beta$ ? Gracias

Milten

Aunque la respuesta de Hagen von Eitzen es buena, creo que vale la pena señalar que su contraejemplo refuta una declaración más débil, ya que demuestra que el teorema inverso falla incluso si asumimos

B ≃ B^{'}

$B \simeq B'$ .

Respuestas (2)

Cinco lemas cortos y un contraejemplo: diagrama conmutativo

Aunque la respuesta de Hagen von Eitzen es buena, creo que vale la pena señalar que su contraejemplo refuta una declaración más débil, ya que demuestra que el teorema inverso falla incluso si asumimos $B \simeq B'$ .

Hagen von Eitzen · Answer 1

Dos mucho trabajo.

Simplemente observa que hay pares de sucesiones exactas cortas como

0 \to Z_{2} \to Z_{4} \to Z_{2} \to 0

$0\to \Bbb Z_2\to\Bbb Z_4\to \Bbb Z_2\to 0$ y

0 \to Z_{2} \to Z_{2} \oplus Z_{2} \to Z_{2} \to 0

$0\to \Bbb Z_2\to\Bbb Z_2\oplus \Bbb Z_2\to \Bbb Z_2\to 0$ donde los términos medios no son isomorfos.

¿Dos o tres mucho trabajo? Perdón por este comentario tonto ;-)

Milten · Answer 2

Dejar $(a,b)=\beta^{-1}(1,0)$ . Entonces $(a,b)$ tiene orden $4$ en $B$ , entonces $a$ es impar. Por lo tanto

gramo (a, b) = (1, b) \neq (0, 1) = {gramo}^{'} \circ β (a, b) .

$g(a,b) = (1,b) \ne (0,1) = g'\circ\beta(a,b).$

"Entonces $(a,b)$ tiene orden $4$ en $B$ , entonces $a$ es extraño" ¿puedes agregar detalles sobre eso? Creo que no entendí
$\beta$ es un isomorfismo, por lo que el orden de $(a,b)$ es el mismo que el orden de $(1,0)$ , cual es $4$ . los elementos en $B$ Con orden $4$ son $(1, 0), (1,1), (3,0)$ y $(3,1)$ .

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