Encuentre el núcleo del mapa inducido después de tensorizar

Dejar R = k [ X , y ] y I = ( X , y ) . Considere el mapa

R 2 → ϕ : ( F ( X , y ) , gramo ( X , y ) ) ↦ X F ( X , y ) + y gramo ( X , y ) I

Estoy tratando de mostrar que después de tensar por R / I , el núcleo del mapa inducido es isomorfo a R / I que estoy bastante seguro de que es.

Respuestas (1)

¡Bienvenido a MSE!

Esto es realmente falso, y este problema es un gran ejemplo del poder de las tonterías abstractas. Comience con la secuencia exacta

0 → R → F ↦ ( y F ,   − X F ) R 2 → ( F , gramo ) ↦ X F + y gramo I → 0

Ahora, dado que la tensorización es exacta, obtenemos una nueva secuencia exacta

R ⊗ R / I → R 2 ⊗ R / I → I ⊗ R / I → 0

por supuesto, sabemos cómo calcular productos tensoriales con R / I , y encontramos

R / I → ( R / I ) 2 → I / I 2 → 0

Por último, sabemos R = k [ X , y ] y I = ( X , y ) , por lo que también podemos calcular estos cocientes.

k → k 2 → ( X , y ) / ( X , y ) 2 → 0

Ahora, ¿cuáles son nuestros mapas?

Bueno, estamos viendo k como k [ X , y ] / ( X , y ) . Es decir, los polinomios constantes. Así que nuestro viejo mapa F ↦ ( y F , − X F ) siempre genera un par de polinomios con 0 término constante. Esto se convierte en el 0 mapa de k a k 2 .

En este punto podemos parar, porque vemos que k no es el kernel del mapa resultante k 2 → ( X , y ) / ( X , y ) 2 . Sin embargo, si quisiéramos ir más allá, veríamos que este mapa envía un par de polinomios constantes ( C 1 , C 2 ) ↦ C 1 X + C 2 y . Tenemos que cociente cualquier término cuadrático, ¡pero no hay ninguno! Entonces vemos que este mapa es en realidad inyectivo, y k 2 ≅ ( X , y ) / ( X , y ) 2 como R -módulos.

Es decir, desenredando todo esto, R 2 ⊗ R / I ≅ I ⊗ R / I como R -módulos, y este isomorfismo provino del mapa inducido. Entonces el kernel del mapa inducido es 0 y no R / I .

Hay formas más rápidas de ver esto (usando algo de geometría algebraica, por ejemplo), pero creo que resolver las cosas de esta manera es instructivo. En general, debe buscar secuencias exactas, en lugar de la definición de producto tensorial, básicamente en todas las situaciones.

Espero que esto ayude ^_^

no, de hecho Colina 1 ( I , R / I ) = R / I . Recuerda que obtenemos una sucesión exacta Colina 1 ( R 2 , I ) → Colina 1 ( I , R / I ) → R ⊗ R / I → R 2 ⊗ R / I → I ⊗ R / I → 0 . Calculamos que la mitad derecha de esta sucesión es k → k 2 → I / I 2 → 0 , y k → k 2 debería ser el 0 mapa. Entonces el mapa Colina 1 ( R 2 , I ) → k debe ser sobreyectiva para que la sucesión sea exacta. También sabemos que Colina 1 ( R 2 , I ) = 0 desde R 2 es gratis, entonces Colina 1 ( I , R / I ) → k debe ser inyectable. Eso nos dice que Colina 1 ( I , R / I ) ≅ R / I ≅ k .
si, quise decir Colina 1 ( I , R / I ) , buena atrapada. En cuanto a sus otras preguntas, podría valer la pena ponerlas en una nueva pregunta en lugar de en los comentarios aquí.
Es el mismo mapa que antes, F ↦ ( y F , − X F ) , pero ahora hemos cociente el ideal ( X , y ) , por lo que todo polinomio de grado ≥ 1 se convierte 0 . Pero y F y − X F Ambos tienen 0 término constante, por lo que cuando eliminamos los polinomios de mayor grado, obtenemos 0 para ambos. Así nuestro mapa se convierte en F ↦ ( 0 , 0 ) , Cuál es el 0 mapa.
Tal vez valga la pena agregar eso aquí ⊗ = ⊗ R (por ejemplo, si ⊗ = ⊗ k entonces obtenemos un resultado diferente ya que R / I ≃ k es trivialmente k -departamento).
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