aplicación de los cinco lemas

Question

aplicación de los cinco lemas

módulos
Matemáticas
álgebra abstracta
álgebra homológica

fatoddsun

supongamos que se nos da una sucesión exacta corta de $\mathbb{Z}G$ -módulos

0 \to k \to F \to A \to 0

$0\to K\to F\to A\to 0$ dónde

F

$F$ es gratis. y formamos un diagrama con esa primera fila y con una segunda fila

0 \to L \to M \to N \to 0

$0\to L\to M\to N\to 0$ corto exacto pero sin condición especial y flechas verticales

α : K \to L

$\alpha\colon K\to L$ ,

β : F \to M

$\beta\colon F\to M$ y

γ : A \to N

$\gamma\colon A\to N$ . (Perdón por la forma horrible de escribir el diagrama, ¡pero no sé cómo escribirlo sin el paquete xy!) Supongamos también que

β

$\beta$ es un isomorfismo. ¿Podríamos decir que

γ

$\gamma$ es un isomorfismo también? ¿Podríamos usar los cinco lemas para decirlo, o deberíamos asumir necesariamente que

α

$\alpha$ es un isomorfismo también? ¡Gracias de antemano, adiós!

tuberculosis

Qué tal si

K = F = M = N = Z G

$K=F=M=N = \mathbb{Z}G$ y

A = L = 0

$A=L=0$ para la primera pregunta?

fatoddsun

¡Oh, es cierto! ¿¡Cómo pude ser tan estúpido!? Bueno... ¡muchas gracias! ¿Y si tomo la primera fila?

0 \to F_{0} \to F_{1} \to A

$0\to F_0\to F_1\to A$ y segunda fila

0 \to F_{0} \to F_{1} \to N

$0\to F_0\to F_1\to N$ eliminando así la sobreyectividad pero requiriendo tanto

F_{0}

$F_0$ y

F_{1}

$F_1$ ¿ser libre? En este caso tendría dos isomorfismos

α

$\alpha$ y

β

$\beta$ y mediante la persecución de diagramas debería poder probar que

γ

$\gamma$ es un isomorfismo. ¿Es correcto? ¿Algún módulo

A

$A$ admitir una sucesión exacta

0 \to F_{0} \to F_{1} \to A

$0\to F_0\to F_1\to A$ ? Si no me equivoco, esto debería significar que cada módulo tiene un submódulo isomorfo al cociente de dos módulos libres.

Respuestas (1)

aplicación de los cinco lemas

Qué tal si $K=F=M=N = \mathbb{Z}G$ y $A=L=0$ para la primera pregunta?
¡Oh, es cierto! ¿¡Cómo pude ser tan estúpido!? Bueno... ¡muchas gracias! ¿Y si tomo la primera fila? $0\to F_0\to F_1\to A$ y segunda fila $0\to F_0\to F_1\to N$ eliminando así la sobreyectividad pero requiriendo tanto $F_0$ y $F_1$ ¿ser libre? En este caso tendría dos isomorfismos $\alpha$ y $\beta$ y mediante la persecución de diagramas debería poder probar que $\gamma$ es un isomorfismo. ¿Es correcto? ¿Algún módulo $A$ admitir una sucesión exacta $0\to F_0\to F_1\to A$ ? Si no me equivoco, esto debería significar que cada módulo tiene un submódulo isomorfo al cociente de dos módulos libres.

tuberculosis · Answer 1

Como indiqué en un comentario, la primera pregunta tiene una respuesta negativa, como lo muestra un ejemplo tonto. Sin embargo, la segunda tiene una respuesta positiva, como es fácil de comprobar (y basta con suponer que $\alpha$ es epi y no hay necesidad de asumir que $F$ es gratis).

Por diversión, permítanme mencionar una forma exagerada de hacerlo:

El lema de los cuatro agudos dice:

Si las filas de

\begin{array}{ccccccc} A_{1} & \to & A_{2} & \to & A_{3} & \to & A_{4} \\ ↓ & ↓ & ↓ & ↓ \\ B_{1} & \to & B_{2} & \to & B_{3} & \to & B_{4} \end{array}

$\begin{array}{ccccccc} A_1 & \to & A_2 & \to & A_3 & \to & A_4 \\\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\\ B_1 & \to & B_2 & \to & B_3 & \to & B_4 \end{array}$ son exactos,

A_{1} \to B_{1}

$A_1 \to B_1$ es epi y

A_{2} \to B_{2}

$A_2 \to B_2$ y

A_{4} \to B_{4}

$A_4 \to B_4$ entonces son isos

A_{3} \to B_{3}

$A_3 \to B_3$ es mono La prueba es una persecución de diagrama simple.

A partir de esto y su dual, o mediante una persecución directa del diagrama, puede concluir fácilmente el lema de los cinco afilados : si las filas de

\begin{array}{ccccccccc} A_{1} & \to & A_{2} & \to & A_{3} & \to & A_{4} & \to & A_{5} \\ ↓ & ↓ & ↓ & ↓ & ↓ \\ B_{1} & \to & B_{2} & \to & B_{3} & \to & B_{4} & \to & B_{5} \end{array}

$\begin{array}{ccccccccc} A_1 & \to & A_2 & \to & A_3 & \to & A_4 & \to & A_5\\\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow\\\ B_1 & \to & B_2 & \to & B_3 & \to & B_4 & \to & B_5 \end{array}$ son exactos,

A_{1} \to B_{1}

$A_1 \to B_1$ es epi,

A_{5} \to B_{5}

$A_5 \to B_5$ es mono y

A_{2} \to B_{2}

$A_2 \to B_2$ y

A_{4} \to B_{4}

$A_4 \to B_4$ entonces son isos

A_{3} \to B_{3}

$A_3 \to B_3$ es un iso.

Ahora deja $A_1 \to B_1$ ser $\alpha$ , $A_2 \to B_2$ ser $\beta$ y deja $A_4 = A_5 = B_4 = B_5 = 0$ para llegar a la conclusión deseada de que $\gamma$ es un isomorfismo.

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fatoddsun

tuberculosis

fatoddsun

Respuestas (1)

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