Variación sobre los cinco lemas

Dejar

$$\begin{matrix} 0 & \rightarrow & A& \xrightarrow{f} & B & \xrightarrow{g} & C \\ & & \downarrow \alpha & &\downarrow \beta & &\downarrow \gamma\\ 0 & \rightarrow & A'& \xrightarrow{f'} & B' & \xrightarrow{g'} & C' \end{matrix}$$

Sea un diagrama conmutativo de$R$-módulos con filas exactas. Si$\beta, \gamma$son isomorfismos, se sigue que$\alpha$es sobreyectiva? Traté de probar esto por un tiempo, pero fracasé.

Estaba interesado específicamente en la siguiente aplicación: let$F \subseteq k$ser campos,$V(F), W(F)$ $F$-espacios vectoriales,$V = k \otimes_F V(F),$y$W = k \otimes_F W(F)$.

Respecto$V(F), W(F)$como$F$-subespacios de$V, W$. Dejar$f: V \rightarrow W$Sea una transformación lineal de$k$-espacios vectoriales que mapas$V(F)$en$W(F)$. Estoy tratando de mostrar que$\textrm{Ker } f$está atravesado por$\textrm{Ker } f \cap V(F)$encima$k$. Mi idea para la prueba era dejar$g$ser la restricción de$f$a$V(W)$. Esto nos da una secuencia exacta

$$0 \rightarrow \textrm{Ker } f \cap V(F) \rightarrow V(F) \rightarrow W(F)$$

que cuando se tensa con$k$permanece exacto y encaja en un diagrama conmutativo

$$\begin{matrix} 0 & \rightarrow & k \otimes_F [\textrm{Ker } f \cap V(F)] & \xrightarrow{} & k \otimes_F V(F) & \xrightarrow{} & k \otimes_F W(F) \\ & & \downarrow & &\downarrow & &\downarrow \\ 0 & \rightarrow & \textrm{Ker } f & \xrightarrow{} & V & \xrightarrow{} & W \end{matrix}$$

Por hipótesis, las flechas verticales media y derecha son isomorfismos, y la flecha izquierda también debería ser un isomorfismo. La inyectividad es clara, la sobreyectividad parece ser más difícil.