Ejemplo e inversión de la transformación de Lorentz

Tenemos dos marcos de referencia: marco F y marco F ′ tal que F ′ se mueve a velocidad v en positivo X dirección de F . Tengo la idea general de la relatividad especial (dilatación del tiempo, contracción de la longitud, etc.) pero todavía tengo problemas para trabajar en las ecuaciones. Digamos que nuestra velocidad es 0.7 C de F ′ . En F ′ es una lámpara de flash y en la distancia d ′ (en X ′ dirección) hay un detector instalado. El tiempo entre la emisión y la detección del pulso de luz para el observador en F ′ es t ′ = 1.5 ∗ 10 − 8 s .

calculé la distancia d ′ , que es aproximadamente 4.5 metro y el intervalo de tiempo entre la emisión y la detección del pulso de luz para el observador en el marco de referencia en reposo: t = 2.1 ∗ 10 − 8 s con t = γ ∗ t ′ .

Ahora tengo que calcular la distancia espacial. X entre la emisión y la detección para el observador en F . Intenté de 2 maneras separadas. Primero con la invariante espacio-tiempo

( C ∗ t ′ ) 2 − ( d ′ ) 2 = ( C ∗ t ) 2 − ( X ) 2
y consiguió 6.3 metro iirc. La segunda forma fue usar la Transformación de Lorentz, supongo que la solución obvia, pero soy nuevo en relatividad especial, así que perdónenme. Ese es el punto donde me confundí con las ecuaciones.

"La transformada de Lorentz para el X coordenada viene dada por:

X ′ = γ ( X − v t )
Todo en el RHS de esta ecuación se mide en el marco F y cada cosa en el LHS se mide en marco F ′ ."

Eso fue publicado en otro hilo. Lo que no entiendo es la referencia de las variables. Así que mi X ′ es mi d ′ por supuesto. Mi distancia en el cuadro en movimiento. Mi X es lo que estoy buscando. La distancia que ve el observador en reposo (?). Mi velocidad es la velocidad del marco móvil (entonces 0.7 C , ¿no?) y ahora mi tiempo... Pensé que debería usar el tiempo medido en el marco de reposo, así que t = 2.1 ∗ 10 − 8 s . Pero eso no me da la misma solución que la invariante del espacio-tiempo. si tomo t ′ sin embargo, funciona. ¿Pero por qué? ¿Mezclé algo? Si t ′ es el momento adecuado para usar, ¿por qué no escribir la Transformación de Lorentz de manera diferente?

Lo siento, pero realmente me confundió: en todas partes es algo ambiguo y no está absolutamente claro a qué se refieren las variables. Un ejemplo me ayudaría mucho!

Respuestas (1)

Si desea aplicar las transformaciones de Lorentz, asegúrese de definir cada evento cuidadosamente y asígnele las coordenadas correctas. La transformada de Lorentz hará el resto.

En tu caso particular:

  • Evento A = luz emitida por la linterna. Coordenadas en F': decir X A ′ = 0 , t A ′ = 0 .
  • Evento B = detector de disparos de luz. Coordenadas en F': X B ′ = X A ′ + d = d , t B ′ = ( X B ′ − X A ′ ) / C = d / C .
  • Aplique la transformada de Lorentz de F' a F para obtener las coordenadas en el cuadro F:
    X A = γ ( X A ′ + v t A ′ ) = 0
    t A = γ ( t A ′ + v X A ′ / C 2 ) = 0
    X B = γ ( X B ′ + v t B ′ ) = γ ( d + v d / C ) = γ ( 1 + v / C ) d
    t B = γ ( t B ′ + v X B ′ / C 2 ) = γ ( d / C + v d / C 2 ) = γ ( 1 + v / C ) d / C

Ahora mire lo que esto significa físicamente: F ve el haz de luz persiguiendo al detector a lo largo de la distancia. X B − X A = γ ( 1 + v / C ) d y alcanzarlo en un tiempo t B − t A = γ ( 1 + v / C ) d / C = ( X B − X A ) / C , a una velocidad ( X B − X A ) / ( t B − t A ) = C .

Ejercicios adicionales: 1) Verifique las cifras específicas para sus datos. 2) Comprobar que el intervalo de espacio-tiempo entre eventos A y B es de hecho el mismo en ambos marcos.

¡Gracias por tu respuesta! Actualmente estoy en mi teléfono, pero revisaré los datos lo antes posible. Pero lo que no entiendo es ¿por qué la Transformación de Lorentz para el tiempo es diferente a la dilatación del tiempo? Sé que el tiempo entre mis dos eventos A y B es t'_B y sé que tiene que ver con el lugar diferente de nuestro evento B en nuestro marco móvil. Pero, ¿por qué hay una diferencia cuando tenemos un reloj en x'_A y un reloj en x'_B? Entonces, ¿cuándo está bien usar la dilatación del tiempo?
La regla básica es que la dilatación del tiempo se refiere a eventos que tienen lugar en el mismo lugar en un cuadro . Por ejemplo, si el evento C tiene lugar en F' en X C ′ = X B ′ = d y t C ′ = t A ′ = 0 , entonces como se observa en F tiene lugar en X C = γ d y t C = γ v d / C 2 . Luego, las duraciones del evento B en los dos marcos se comparan como t B ′ − t C ′ = d / C y t B − t C = γ ( 1 + v / C ) d / C − γ v d / C 2 = γ d / C = γ ( t B ′ − t C ′ ) o ( t B ′ − t C ′ ) = ( t B − t C ) / γ .
En su caso, los dos eventos tienen lugar en diferentes lugares en ambos marcos. Otoh, la regla para la contracción de la longitud es que en el marco de observación la longitud se mide al mismo tiempo (eventos simultáneos) entre puntos en diferentes ubicaciones y se compara con la longitud restante .
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