Confusión sobre la lectura del reloj visto desde diferentes sistemas de inercia

Tal vez le resulte útil considerar una analogía que involucre distancias en lugar de tiempo. Suponga que en su sistema de coordenadas su eje x es horizontal, pero el mío se inclina un poco hacia la derecha y que su marco de referencia se mueve hacia la derecha mientras que el mío está quieto.

Suponga que mide la altura a la que ocurren dos eventos en un cierto punto a lo largo de su eje x, y encuentra una diferencia de altura dh entre ellos. En mi marco de referencia, el segundo evento ocurrirá más a lo largo de mi eje x que el primero (ya que mi eje se mueve en relación con el tuyo), y dado que mi eje x está inclinado hacia abajo en comparación con el tuyo, encontraré que el segundo evento es más alto de lo que sería si mi eje x hubiera sido paralelo al tuyo, así que encuentro un valor diferente para dh. El efecto no tiene nada que ver con cómo mido la altura, o si uso una regla para ambas medidas o dos; surge del hecho de que los eventos se distribuyen a lo largo de mi eje, y mi eje tiene una pendiente diferente a la tuya.

Exactamente la misma situación surge con la simultaneidad, excepto que la altura (es decir, una medida en el eje y) se reemplaza por el tiempo (una medida en el eje t). Mide los tiempos de dos eventos en un punto de su eje espacial. Los mido en dos puntos a lo largo del mío, y el mío está inclinado en relación con el tuyo, así que obtengo diferentes valores para dt (ya sea que use un reloj/regla o dos).

Su pregunta no se trata tanto de la relatividad en particular como de la asimetría percibida en general. Así que aquí hay un ejemplo que captura exactamente el mismo tipo de "asimetría".

Párese en el ecuador, mirando al sur. El Polo Sur está aproximadamente a 6000 millas frente a ti y el Polo Norte está aproximadamente a 18000 millas frente a ti. (Es decir, tendría que caminar 18,000 millas en la dirección de avance para recorrer 3/4 del camino alrededor del mundo hasta el Polo Norte).

Estoy parado a tu lado, de cara al norte. En mi sistema de coordenadas, el Polo Norte está a 6000 millas al frente y el Polo Sur está a 18,000 millas adelante.

Nuestros sistemas de medición son equivalentes en el sentido de que hacen exactamente las mismas predicciones sobre las consecuencias de cualquier viaje en particular. Por ejemplo, si ambos vamos hacia el Sur, acordamos que llegaremos al Polo Sur en 6000 millas, aunque describirás ese viaje como caminar hacia adelante y yo lo describiré como caminar hacia atrás.

Entonces, según usted, el Polo Sur está más cerca (en la dirección hacia adelante) que el Norte. Según yo, lo contrario es cierto.

Ahora parafraseando tu argumento:

Aquí tenemos una situación en la que dos medidas perfectas y equivalentes ya no son equivalentes (dan valores diferentes para la distancia desde donde estamos parados hasta el Polo Sur). ¡Pero esto contradice la equivalencia de nuestros sistemas de medición!

¿O sí?

A primera vista, la fórmula de dilatación del tiempo parece asimétrica.

Necesita usar la transformación de Lorentz completa por tiempo para ver si la fórmula es simétrica. En su pregunta, deje$\Delta x^\prime=0$, la transformación de Lorentz implica:

cual es tu resultado. Sin embargo, la transformación de Lorentz para el tiempo en$S^\prime$, rendimientos:

Recuerda que en,$S$, tenemos$\Delta x=v\Delta t$, lo que implica:

Esta ecuación es similar a la primera, que muestra la simetría en relatividad.

Pero entonces tenemos una situación en la que dos relojes perfectos y equivalentes, uno de$S$y uno de$S′$- ya no son equivalentes (uno de ellos es más lento que otro). Pero esto contradice la equivalencia de todos los marcos de referencia inerciales.

Creo que ha confundido las tasas de tiempo (rápidas o lentas) con el tiempo transcurrido (lecturas de los relojes). Si se considera el primero, según la simetría, cada observador mide, digamos, la velocidad angular del otro reloj más lento (se dice$\omega^\prime/\omega=\gamma$, y el otro deduce$\omega/\omega^\prime=\gamma$en cambio.), sin embargo, ambos observadores están de acuerdo en que las lecturas de los relojes ($\Delta t$s) son similares en ambos marcos como mostré a través de las ecuaciones anteriores. Esta similitud se debe a la sincronización de los relojes. Es decir, si dos relojes comienzan a funcionar simultáneamente en un cuadro; desde el punto de vista de otro marco, uno de los relojes comienza a funcionar antes que el otro a pesar de que cada observador ve al otro reloj más lento.

Espero haber entendido bien tu pregunta.

Pero entonces tenemos una situación en la que dos relojes perfectos y equivalentes, uno de S y otro de S′, ya no son equivalentes (uno de ellos es más lento que otro). Pero esto contradice la equivalencia de todos los marcos de referencia inerciales.

Cada vez que dices algo, como ...(times) are no longer equivalent/one of them is slower than another.... Automáticamente te colocas en uno de los marcos inerciales, aquí está el marco S.

Por otro lado, la afirmación sigue siendo cierta si se encuentra dentro del contexto del cuadro S'. Todavía diría que el otro reloj parece más lento que el suyo, dentro del contexto de este marco de S. Por lo tanto, la simetría se mantiene, en ese sentido.

Para generalizar, cada vez que describa algo en el lenguaje de la teoría de la relatividad especial, a menos que sea algo de invariancia como el intervalo de espacio-tiempo , tenga en cuenta que la mayoría de las declaraciones vienen automáticamente con un cierto marco de inercia.

Pero entonces tenemos una situación en la que dos relojes perfectos y equivalentes, uno de$S$y uno de$S′$- ya no son equivalentes (uno de ellos es más lento que otro). Pero esto contradice la equivalencia de todos los marcos de referencia inerciales.

Los dos relojes no son equivalentes . Para$S$, uno de ellos está en reposo y el otro se mueve a una velocidad$v=\beta c$.

Qué$S$hace es que usa dos relojes diferentes estacionarios en su marco para medir el tiempo transcurrido en un solo reloj en movimiento de$S′$.

$S′$hace lo mismo, pero con dos relojes diferentes fijos en su propio marco .

Entonces, la situación no es simétrica en el sentido absoluto . Cuando$S$o$S'$hablan sobre medir cómo un reloj en movimiento funciona lento, están haciendo diferentes experimentos. Por lo tanto, aunque cada uno sienta que los relojes del otro van más lentos, no hay contradicción.

De hecho, lo que te dice el principio de la relatividad es que la situación es simétrica, pero solo en el "sentido relativo", es decir,$S$llegará exactamente a las mismas conclusiones acerca de los relojes de$S'$, como$S'$vendrá a buscar relojes de$S$.

Resolución Física

No hay paradoja si haces el análisis correctamente. Así que esto técnicamente no es una resolución, sino más bien una forma de ver que no hay conflicto con las conclusiones de la relatividad especial. Así que aquí va una explicación más física usando medidas:

Primero recordamos dos principios importantes cuando se trata de mediciones de tiempo (estos pueden derivarse de experimentos mentales simples):

1. Un reloj en movimiento se desacelera por un factor de$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}$.
2. Los relojes de S no están sincronizados en el marco de$S′$(y viceversa), con el que está en la parte trasera liderando operativamente al que está en la parte delantera por una cantidad$vl/c^2$($l$siendo el resto separación entre los relojes, y$v$la velocidad relativa).

Ahora tratemos de entender por qué$S′$puede conciliar con el hecho de que$S$piensa que los relojes de$S′$correr más lento (mientras que de hecho es "verdad" que los relojes de$S$correr más lento para él).

Aquí está la afirmación de$S$: "Mientras$\Delta t$tiempo transcurrido para mí, un reloj en movimiento de$S'$solo avanzado por$\Delta t/\gamma$. "

Imaginemos que$S′$se mueve a la derecha de S con velocidad$v$.

$S′$señala que el proceso de medición a través del cual$S$afirmó que los relojes de$S'$son más lentos involucran la medición del tiempo mostrado por un solo reloj de$S'$por dos relojes diferentes de$S$.$S'$luego procesará esta información de la siguiente manera: "El tiempo transcurrido entre las dos mediciones para$S$era$\Delta t$. Tonto$S$ $-$hizo la medida con dos relojes no sincronizados con separación de reposo$l=v\Delta t$. Eso significa que los dos relojes utilizados en su medición ya estaban desincronizados por una cantidad$vl/c^2 = \beta^2 \Delta t$. Además, debido a que el reloj en la parte trasera adelanta al que está en la parte delantera, midió una diferencia horaria adicional.$\beta^2 \Delta t$puramente debido a la asincronización del reloj. La medida correcta del tiempo habría sido$\Delta t'= (1-\beta^2) \Delta t$. Pero, dado que sus relojes son siempre lentos por un factor de$\gamma$, el 'tiempo real' transcurrido para mí es$\gamma \times \Delta t' = \Delta t/\gamma$ $-$que es de hecho lo que mido! "

La relatividad es una teoría de marcos de referencia. La pregunta dice que$\Delta t$es el tiempo medido entre dos eventos por dos relojes sincronizados en marco$S$. Pero ahora, aquí está el truco:$\Delta t$es en realidad el tiempo entre los dos eventos observados por$S$, como lo observa$S'$.

Usualmente, en RS, tratamos de comparar el flujo de tiempo y la medida de longitudes, con respecto a otro marco. Entonces el$\Delta t$en la ecuación anterior es lo que la persona parada en$S'$ve en su marco. Déjame intentar explicarte.

Supongamos que lo mira desde la perspectiva de$S'$, con$S$viajando en relación con$S'$con velocidad$v$. Démosles a ambos cronómetros. Ahora, vamos a dos eventos$A$y$B$suceder en $S$. Cuando$A$sucede,$s$(los observadores se indican aquí con letras minúsculas) pone en marcha el cronómetro. Cuando$B$sucede, detiene el cronómetro. El tiempo entre ellos es$\Delta t$, como sabemos por la pregunta. Ahora, ¿el tiempo entre ellos, visto por $s'$¿ser el mismo? No. El cronómetro comenzará y se detendrá en un momento diferente, por lo que obtendrá$\Delta t'$.

Pero ahora, di$s'$está tratando de ver cuánto tiempo transcurrió según$s$. él verá que

Ahí es donde tenemos que comparar dos observadores en lugar de uno, y pensar en cómo se sincronizan los relojes en dos marcos separados.

Volviendo a la pregunta que hizo el OP, sí importa cómo los relojes están 'marcando' en otros marcos, cuando está comparando alguna cantidad en su marco con los demás. Eso es lo que significa la palabra 'relatividad'. Cómo$S'$se comporta en relación con$S$o viceversa.

Cuando$S'$trata de medir lo que$\Delta t$va a ser, por supuesto que le importa cómo se sincronizan los relojes en ese cuadro. Porque está tratando de averiguar cuánto tiempo ha transcurrido en el otro marco.

$\Delta t$en este contexto no es el momento en que$s$medidas. En cambio, es el momento en que$s'$ve ha pasado por$s$. ¿Y cómo 've' cuánto tiempo ha pasado para$s$? Al averiguar a qué hora están los relojes (o cronómetros)$S$están mostrando entre los dos eventos (lo que incluye medir si están sincronizados o no para tener una mejor idea), y comparar esos valores con los de sus propios relojes.

Entonces, es por eso que es importante saber qué está pasando en otros marcos. Es posible que vea muchas negritas y cursivas en esta respuesta, y eso se debe a que este es un concepto delicado, y necesita saber qué está pasando exactamente y no quedar atrapado en las oraciones largas.