Relación fuerza y ​​energía: en caso de fuerza dependiente del tiempo

Los problemas equivalentes también se encuentran en el problema de Marion 7-22 y en otros libros de texto de mecánica clásica formal. Aquí lo que quiero saber es por qué la solución del instructor y algunos sitios web ofrecen este tipo de enfoque.

Una partícula de masa m se mueve en una dimensión bajo la influencia de una fuerza

F ( X , t ) = − k X − 2 mi X pag ( − t / τ )
donde k y τ son constantes positivas.
lo que quiero hacer es calcular su lagrangiano.

F ( X , t ) = − ∂ tu ( X , t ) ∂ X ,

Primero sé que este tipo de enfoque (El F = − ∇ tu solo es válido para fuerzas conservativas, i . mi , independiente de la trayectoria, potencial de dependencia de la posición), es válido de hecho

Muchos libros de texto similares, y su solución utilizada anteriormente en relación con volver a derivar tu y calcular L y H .

Creo que su propósito es mostrar que incluso si H se escribe como H = T + tu , este H es diferente de mi . i . mi , a pesar de H se escribe como H = T + tu , ya que la fuerza depende del tiempo explícitamente, H ya no es mi .

Entiendo el procedimiento pero no acepto la primera parte. En general (?) Sé que la fuerza dependiente del tiempo es una fuerza no conservativa. ¿Me equivoco? Hace F = − ∂ tu ∂ X tipo de cosas siempre se mantiene?

cf, de wiki

Descripción matemática

  1. El rotacional de F es el vector cero:

    ∇ × F → = 0 → .

  2. Hay trabajo neto cero (W) realizado por la fuerza al mover una partícula a través de una trayectoria que comienza y termina en el mismo lugar:

    W ≡ ∮ C F → ⋅ d r → = 0.

  3. La fuerza se puede escribir como el gradiente negativo de un potencial,

    Φ : F → = − ∇ Φ .

Respuestas (1)

Si te preguntas si F = − ∂ tu ∂ X retiene, puede verificar la condición equivalente que publicó, ∇ × F → = 0 . En este caso, el rotacional resultará ser cero, por lo que puede proceder a escribir la fuerza como el gradiente negativo de un potencial. Esto parece funcionar porque el operador del no tiene en cuenta el tiempo, solo la ruta. Ahí es donde entra el hamiltoniano.

En este caso, no están diciendo que H ≠ mi por la dependencia del tiempo. Desde H = tu + T y mi = tu + T , aquí H = mi (aunque no siempre es así). Dado que H contiene tiempo explícitamente, H no es una cantidad conservada. Desde H = mi , por lo tanto, la energía no se conserva aunque la fuerza parezca ser conservativa. Eso es lo que estaban demostrando. Si H ≠ mi , entonces H no siendo una cantidad conservada sería irrelevante para si la energía se conservó o no.

Me resulta difícil encontrar esta fuerza conservativa, ¿qué pasa con el trabajo neto cuando la partícula va y viene al lugar de partida? el trabajo neto ciertamente no será cero (la fuerza cambia con el tiempo a lo largo del camino, es una función de t, por lo que cambia cuando regresas)
El rotacional solo se define para campos vectoriales 3D. No creo que tenga sentido usar la condición de rizo que mencionas para esta fuerza 1D.
Bruce, tienes razón, esta fuerza no es conservativa. Esto se muestra aquí cuando dicen H = E y H no se conserva porque contiene tiempo. En cuanto a que el rizo solo se define en tres dimensiones, puede tomar el rizo en una dimensión con dos de los componentes siendo cero. Si bien podría estar equivocado, creo que ir a una dimensión de esta manera y mostrar que el rotacional es cero todavía implica una fuerza conservativa (aunque en este caso la dependencia del tiempo hace que no sea conservativa).
Me pregunto F = -nabla Phi es válido para la fuerza no conservativa. En wiki, afirman que este tipo de enfoque solo es válido para la fuerza conservadora. En mi pregunta anterior, de hecho, la relación de fuerza de energía potencial también es válida para la fuerza dependiente del tiempo que parece incómoda
la definición real es (2). (1) y (3) son equivalentes a (2) solo cuando el campo es una función de posición únicamente.
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