¿Hay algún potencial asociado con el magnetismo?

La fuerza$q\vec v\times \vec B$actuar sobre una partícula cargada claramente no es conservativo porque depende de la velocidad. Las fuerzas conservativas son aquellas que se integran a un trabajo fijo – diferencia de energía que es independiente de la trayectoria – entre dos puntos por lo que pueden depender únicamente de la ubicación. No podemos asociar un potencial con una fuerza que depende de la velocidad.

Por otro lado, la fuerza magnética que actúa, por ejemplo, sobre una pequeña pieza de ferromagneto merece una discusión especial. Si el imán tiene un momento magnético$\vec m$, la energía de este imán en un campo magnético externo es simplemente

$$U = -\vec m\cdot \vec B.$$ Uno puede ver este término en la energía como una energía potencial que depende de la orientación del imán. Esta fuerza está tratando de orientar$\vec m$en la misma dirección que el exterior$\vec B$. Tenga en cuenta que el campo$\vec B$arriba también puede depender de la posición, razón por la cual un imán que ya está orientado para minimizar la energía puede ser arrastrado a la región donde el campo magnético se vuelve más fuerte.

En general, sea o no$\vec B$es el gradiente de algo depende de${\rm curl}\, \vec B$y esto se rige por una de las ecuaciones de Maxwell, a saber

$$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\left(\mathbf{J} + \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t} \right) .$$ Se llama ley circuital de Ampère (con la corrección de Maxwell: el último término con la derivada del tiempo, también conocida como corriente de desplazamiento). Verá que el rizo no desaparece en presencia de corrientes y/o campos eléctricos dependientes del tiempo. Sin embargo, en ausencia de corrientes y campos eléctricos variables en el tiempo, el rotacional es igual a cero, y puede escribir$\vec B$como el gradiente de un potencial en estas regiones.

Sin embargo, esto no se traduce inmediatamente en el carácter conservativo de cualquier fuerza magnética porque las fuerzas magnéticas que hemos medido no son proporcionales a$\vec B$como vectores. tendríamos$\vec F = c\vec B$lo cual sería análogo a la fuerza eléctrica que actúa sobre las cargas, pero tal forma de fuerza solo se aplica a los monopolos magnéticos, algo que puede existir en la naturaleza pero solo en forma de partículas elementales extremadamente pesadas que aún no hemos observado.

Entonces porque$\vec F$no es$c\vec B$para cualquier fuerza conocida, la cuestión de si$\vec B$es un gradiente de algo no tiene impacto en la cuestión de si una fuerza conocida relacionada con el magnetismo es conservativa o no. Por esta razón, ni siquiera es demasiado útil considerar potenciales$\Phi_B$tal que$\vec B = -\nabla \Phi_B$aunque en algunos casos y regiones, podríamos encontrar tal potencial (cuando el rizo se desvanece).

En cambio, es útil escribir$\vec B = {\rm curl}\,\vec A$dónde$\vec A$se llama potencial vectorial. Mientras no haya monopolos magnéticos,$\vec B$siempre puede escribirse de esta manera porque la única obstrucción que podría impedirnos reescribir$\vec B$de esta manera sería un distinto de cero${\rm div}\,\vec B$pero esta divergencia se desvanece debido a una simple ecuación de Maxwell.

Sin embargo, el vector potencial$\vec A$no se puede interpretar "inmediatamente" como la energía potencial de una unidad de carga, etc. En cambio, aparece en el Lagrangiano y el Hamiltoniano (con varios signos) en la combinación$\vec j\cdot \vec A$dónde$\vec j$es la corriente eléctrica. En este sentido, el vector potencial es la energía potencial por unidad de corriente (ambos son vectores).

Esta es una descripción un poco formal. Para obtener la energía real, uno tendría que integrar todos los caminos de las corrientes. Y se puede hacer. Por ejemplo, si tiene un pequeño bucle de corriente eléctrica, se comporta como un imán (electroimán) y la integral de contorno$\oint \vec{d\ell}\cdot \vec A$de$\vec A$sobre este bucle no hay nada más que$\vec B\cdot \vec{dS}$– por la ley de Stokes – donde$\vec{dS}$es el área infinitesimal del bucle con la dirección normal añadida para convertirlo en un vector (aquí está implícita una regla de la mano derecha). Entonces esto te dice que la energía potencial del bucle de corriente, es decir, un pequeño electroimán, no es más que el$-\vec m\cdot \vec B$energía potencial que mencioné al principio.