¿Por qué el trabajo realizado por una fuerza no conservativa no puede ser cero?

Question

¿Por qué el trabajo realizado por una fuerza no conservativa no puede ser cero?

Trabajo
efectivo
Física
energía potencial
campo conservativo
mecanica-newtoniana

Swami

¿Por qué el trabajo realizado por una fuerza no conservativa no puede ser cero? El desplazamiento a lo largo de un camino cerrado es siempre cero. Entonces, cualquiera que sea el tipo de fuerza, variable o constante, el trabajo tiene que ser cero. ¿Por qué necesitamos calcular el trabajo realizado para trayectorias individuales? ingrese la descripción de la imagen aquí

Esta es una fuerza no conservativa que parte de $A$ se mueve a través de la ruta 1 a $B$ y luego de vuelta a $A$ a través de la ruta 2. Dado que el desplazamiento de todos modos va a ser cero, ¿por qué el trabajo realizado no puede ser cero?

dmckee --- gatito ex-moderador

El trabajo realizado puede ser cero en casos particulares, pero la definición de "no conservativo" es tal que no es cero en general . Por lo tanto, debe calcularlo cada vez en lugar de confiar en una regla práctica como puede hacerlo para las fuerzas conservativas. Es decir, las fuerzas físicas reales se clasifican como "no conservativas" porque no existe una regla práctica que dependa solo de los puntos finales del camino.

Swami

¿No viola eso la definición misma de trabajo? ¿No significaría eso que W= Fd es válido solo para fuerzas conservativas, porque para los casos de fuerzas no conservativas, el desplazamiento parece tener la menor importancia en el cálculo del trabajo realizado?

dmckee --- gatito ex-moderador

El

d

$d$ no es desplazamiento, es distancia recorrida. En la forma infinitesimal son iguales, pero no en la forma finita. Muchos libros eligen un símbolo diferente (a menudo

s

$s$ ) para enfatizar esto.

W = \int_{s} \vec{F} \cdot d \vec{s}

$W = \int_s \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{s}$ o similar.

Respuestas (5)

¿Por qué el trabajo realizado por una fuerza no conservativa no puede ser cero?

El trabajo realizado puede ser cero en casos particulares, pero la definición de "no conservativo" es tal que no es cero en general . Por lo tanto, debe calcularlo cada vez en lugar de confiar en una regla práctica como puede hacerlo para las fuerzas conservativas. Es decir, las fuerzas físicas reales se clasifican como "no conservativas" porque no existe una regla práctica que dependa solo de los puntos finales del camino.
¿No viola eso la definición misma de trabajo? ¿No significaría eso que W= Fd es válido solo para fuerzas conservativas, porque para los casos de fuerzas no conservativas, el desplazamiento parece tener la menor importancia en el cálculo del trabajo realizado?
El $d$ no es desplazamiento, es distancia recorrida. En la forma infinitesimal son iguales, pero no en la forma finita. Muchos libros eligen un símbolo diferente (a menudo $s$ ) para enfatizar esto. $W = \int_s \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{s}$ o similar.

una mente curiosa · Answer 1

Para las fuerzas que cambian a lo largo del camino, el desplazamiento no es lo que se usa para calcular el trabajo. Dejar $\gamma : [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^3$ Sea el camino (cerrado o abierto) que sigue la partícula sobre la que se ejerce la fuerza. Entonces, el trabajo realizado a lo largo de ese camino es

W [γ, F] = \oint_{γ} \vec{F} (\vec{X}) \cdot d \vec{X}

$W[\gamma,F] = \oint_\gamma \vec{F}(\vec{x})\cdot \mathrm{d}\vec{x}$

que es una integral de línea. Si $\vec{F}$ es conservativa, hay una función $V(\vec{x})$ tal que $\nabla V(\vec{x}) = \vec{F}(\vec{x})$ , entonces podemos aplicar el teorema de Stokes (o, menos elaborado, el teorema fundamental del cálculo) para calcular el trabajo por

\oint_{γ} \vec{F} (\vec{X}) \cdot d \vec{X} = \int_{\partial γ} V (\vec{X}) = V (γ (1)) - V (γ (0))

$\oint_\gamma \vec{F}(\vec{x})\cdot \mathrm{d}\vec{x} = \int_{\partial\gamma} V(\vec{x}) = V(\gamma(1)) - V(\gamma(0))$

Para caminos cerrados, $\gamma(1) = \gamma(0)$ , entonces esto es cero. Si no hay potencial con $\nabla V = \vec{F}$ , no podemos aplicar este argumento y tenemos que calcular la integral de línea, que puede ser cualquier cosa, especialmente no cero.

La fuerza del resorte es una fuerza variable, pero es conservativa. Estoy tratando de entender qué nos inspira a calcular el trabajo realizado utilizando la integración. ¿La fuerza es variable o no conservativa?
@Swami: La primera fórmula es la definición de trabajo para todas las fuerzas . Para fuerzas constantes, $\vec{F}\cdot\vec{x}$ (con desplazamiento $\vec{x}$ ) es la forma de calcular el trabajo, y para fuerzas constantes, la integral es solo esto. Pero para fuerzas que varían a lo largo del camino, necesitamos hacer la integral - representa aplicar $\vec{F}\cdot\vec{x}$ para cada parte infinitesimal del camino y luego sumando todas estas partes infinitesimales, de ahí la notación sugerente $\vec{F}(\vec{x})\cdot\mathrm{d}\vec{x}$ .
@ACuriousMind Entonces, ¿por qué definimos una fuerza como conservativa si su integral a lo largo de un baño cerrado es cero? Tal vez una fuerza no conservativa también tenga 0 integral alrededor de un camino cerrado. Entonces parece que es una definición débil en contraste con la definición de que la integral cerrada a lo largo de una curva depende solo de los puntos finales.

a la izquierda · Answer 2

Bueno, podemos hacer un simple contraejemplo. Dejar

\vec{F} (\vec{X}) = F_{0} \cdot ϱ (\vec{X})

$\vec{F}(\vec{x}) = F_0 \cdot \varrho(\vec x)$ dónde

ϱ

$\varrho$ es la función que rota los vectores 90° en sentido antihorario (en forma de matriz

(\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

$(\begin{smallmatrix}0 & -1\\1 & 0\end{smallmatrix})$ si prefieres eso). Claramente, por el camino cerrado

\vec{γ} : [0, 2 π] \to R^{2}, t \mapsto (\begin{matrix} porque (t) \\ pecado (t) \end{matrix})

$\vec{\gamma}\colon\quad [0, 2\pi]\ \to\ \mathbb{R}^2 , \qquad t\ \mapsto \begin{pmatrix}\cos(t) \\ \sin(t)\end{pmatrix}$ siempre hemos

\dot{\vec{γ}} \cdot \vec{F} (\vec{γ}) = F_{0}

$\dot{\vec\gamma} \cdot \vec{F}(\vec\gamma) = F_0$ . Entonces

\oint_{γ} d \vec{X} \cdot \vec{F} (\vec{X}) = 2 π \cdot F_{0} .

$\oint_\gamma \mathrm{d}{\vec x}\cdot \vec{F}(\vec{x}) = 2\pi\cdot F_0.$ Esa es básicamente la respuesta a su pregunta, aunque la ha redactado incorrectamente:

¿Por qué el trabajo no puede ser cero?

En realidad puede ser cero. Considerar

{\vec{γ}}_{2} : [0, 2 π] \to R^{2}, t \mapsto {\begin{cases} \vec{γ} (t) & si t < π \\ \vec{γ} (2 π - t) & de lo contrario \end{cases}

$\vec{\gamma}_2\colon\quad [0, 2\pi]\ \to\ \mathbb{R}^2 ,\qquad t \mapsto \begin{cases}\vec\gamma(t) & \text{if $t<\pi$} \\ \vec\gamma(2\pi - t) & \text{otherwise}\end{cases}$ Esto simplemente toma la mitad del camino de

γ

$\gamma$ , pero luego da la vuelta y vuelve por el mismo camino por el que vino, integrando así el producto escalar de fuerza opuesto, por lo que el resultado es como

0

$0$ aquí aunque la fuerza, como demostré anteriormente, no es conservativa. Solo que, en un campo no conservativo, no todos los caminos cerrados tienen trabajo total cero. (Más obviamente: en cualquier campo, el "camino" cerrado que simplemente permanece en el mismo punto para siempre no tiene trabajo).

petirrojo · Answer 3

Si bien el desplazamiento total , como se muestra en su figura, es cero, ¡esto no significa que el trabajo sea cero! El trabajo es el desplazamiento escalar de la fuerza, $W = \vec F\cdot \vec s$ . Buceando el camino $A \to B \to A$ en pasos infinitesimales a los que somos conducidos

d W = \vec{F} \cdot d \vec{s}

$dW = \vec F \cdot d\vec s$ y para el total de la obra, sumando la aportación

W = \int \vec{F} \cdot d \vec{s} .

$W = \int \vec F\cdot d\vec s.$ Yo creo que a partir de aquí se quiere repartir la integral sobre el producto,

W \overset{?}{=} \int F \cdot \int d \vec{s}

$W \overset{?}{=} \int F \cdot \int d\vec s$ y como el desplazamiento total es

0

$0$ , el producto debería desaparecer. Pero esta igualdad no se cumple en general, por lo que no se puede concluir que el trabajo total realizado desaparece solo porque el desplazamiento total desaparece.

Por supuesto, como han señalado otras respuestas, podría suceder por accidente que el trabajo total siga siendo cero, es solo que para una fuerza no conservativa no tenemos la garantía de que lo haga.

Tu expresión sugiere que F tiene que ser variable. ¿Significaría eso que cada fuerza no conservativa tiene que ser solo una fuerza variable?
¿Por qué necesito dividir el camino para calcular el trabajo realizado? ¿Por qué no puedo simplemente hacer el producto escalar de la fuerza (una fuerza constante, digamos fricción, que no es conservativa) y el desplazamiento (que es cero para un bucle)?
Mi expresión permite $\vec F$ para variar pero no lo requiere. Para un bucle, no es posible que la fricción sea constante: siempre está en la dirección opuesta al movimiento, por lo que debe variar en dirección, o no podemos volver a donde empezamos.

Natasha Naín · Answer 4

Como fuerzas no conservativas son aquellas fuerzas cuyo trabajo realizado depende del camino seguido por una partícula. Entonces, alrededor de un camino cerrado, su valor será positivo porque algunas partículas han seguido un camino al moverse alrededor de un camino cerrado. Pero en el caso de fuerzas conservativas, el trabajo depende solo de los puntos inicial y final, no del camino. Entonces, alrededor de un camino cerrado, los puntos inicial y final coinciden, por lo que el trabajo realizado es cero.

Ramanan · Answer 5

Sea de mente práctica. Si una pelota depende de la trayectoria como la fuerza del aire o cualquier otra fuerza, el trabajo que damos se pierde en algún punto, pero cuando regresa, el trabajo realizado por la fuerza del aire se le da a la pelota. Por lo tanto, el trabajo realizado no es cero en ningún otro punto en fuerza no conservativa

Me imagino que la "fuerza aérea" es la resistencia al viento en este caso.

¿Por qué el trabajo realizado por una fuerza no conservativa no puede ser cero?

Swami

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