Ecuaciones de Euler-Lagrange de un péndulo de bucle de corriente en un campo magnético

Question

Ecuaciones de Euler-Lagrange de un péndulo de bucle de corriente en un campo magnético

estudiante1

Estoy leyendo "Electromecánica no lineal", de Dmitry Skubov y Kamil S. Khodzhaev, Springer 2008. Aquí está el capítulo relevante y de libre acceso.

Esencialmente, un bucle de área $S$ , masa $m$ , momento de inercia $I$ , autoinductancia $L$ , llevando corriente $i$ y conectado rígidamente a una barra de péndulo de longitud $l$ se coloca en un campo magnetico $B_0\sin\nu t$ . El Lagrangiano del sistema es:

L = T - V = \frac{1}{2} I {\dot{θ}}^{2} - \frac{1}{2} L i^{2} - B_{0} S i pecado v t pecado θ - metro gramo yo (1 - porque θ)

$L=T-V=\frac{1}{2}I\dot{\theta}^2-\frac{1}{2}Li^2-B_0Si\sin{\nu t}\sin\theta-mgl(1-\cos\theta)$ dónde

θ

$\theta$ es la desviación del péndulo de la vertical. La ecuación de Euler-Lagrange es

\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}) = 0.

$\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}})=0.$ Si tomamos las variables generalizadas como

θ

$\theta$ y

i

$i$ entonces deberíamos obtener:

- B_{0} S i pecado v t porque θ - metro gramo yo pecado θ - I \ddot{θ} = 0

$-B_0Si\sin{\nu t}\cos\theta-mgl\sin\theta-I\ddot{\theta}=0$

L i + B_{0} S pecado v t pecado θ = 0

$Li+B_0S\sin{\nu t}\sin\theta=0$ Sin embargo, las ecuaciones del libro (2.2.2) son diferentes de estas dos. El primero difiere por signos, mientras que el segundo es completamente diferente. ¿Lo que está mal?

=== EDITAR: Se agregaron las ecuaciones en cuestión ===

I \ddot{θ} - B_{0} S i pecado v t porque θ + metro gramo yo pecado θ = 0

$I\ddot{\theta}-B_0Si\sin{\nu t}\cos\theta+mgl\sin\theta=0$

L \dot{i} + B_{0} S pecado v t porque θ \dot{θ} + B_{0} S v porque v t pecado θ + R i = 0

$L\dot i+B_0S\sin{\nu t}\cos\theta \dot \theta+B_0S\nu\cos{\nu t}\sin\theta+Ri=0$

Respuestas (1)

Ecuaciones de Euler-Lagrange de un péndulo de bucle de corriente en un campo magnético

kyle kanos · Answer 1

Recuerde que las energías magnéticas se suman al Lagrangiano mientras que las energías eléctricas restan al Lagrangiano; esto se prueba fácilmente observando la fuerza de Lorentz en el formalismo lagrangiano. Es decir, el lagrangiano debe definirse como

L = T - V + W_{b} - W_{mi}

$\mathcal L=T-V+W_b-W_e$ dónde

W_{n}

$W_n$ son los magnéticos (

b

$b$ ) y eléctrico (

e

$e$ ) energías. Por lo tanto, su Lagrangiano es

L = \frac{1}{2} I {\dot{θ}}^{2} - metro gramo yo (1 - porque θ) + \frac{1}{2} L i^{2} + B_{0} S pecado v t pecado θ i

$\mathcal L=\frac12I\dot\theta^2-mgl\left(1-\cos\theta\right)+\frac12Li^2+B_0S\sin\nu t\sin\theta i$ que se ocupa de su error de signo en la primera parte.

Los términos que faltan en su segunda ecuación probablemente provienen de su función de disipación (deducida de la existencia de la $\dot\theta$ y $R$ términos) que probablemente tomará la forma

Ψ = α i^{2} + β {\dot{θ}}^{2}

$\Psi=\alpha i^2+\beta\dot\theta^2$ No está (todavía) claro para mí los orígenes de

α

$\alpha$ y

β

$\beta$ aquí (que se determinan fácilmente a través de la diferenciación directa), pero con suerte verá que no es simplemente el Lagrangiano de la mecánica clásica aplicada a una nueva situación, hay algunas características adicionales.

El sistema de ecuaciones requerido aquí se llama ecuaciones de Lagrange-Maxwell (definidas en la Sección 1.2 de su libro):

\begin{aligned} \frac{d}{d t} \frac{\partial W}{\partial i} + \frac{\partial Φ}{\partial i} + \frac{\partial V}{\partial gramo} & = mi \\ \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{θ}} - \frac{\partial (T + W)}{\partial θ} + \frac{\partial (Π + V)}{\partial θ} & = q \end{aligned}

$\begin{align} \frac{d}{dt}\frac{\partial W}{\partial i}+\frac{\partial\Phi}{\partial i}+\frac{\partial V}{\partial g}&=E\\ \frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial\dot\theta}-\frac{\partial\left(T+W\right)}{\partial \theta}+\frac{\partial\left(\Pi+V\right)}{\partial \theta}&=Q \end{align}$ dónde

$W=\frac12Li^2$ es el término de autoinducción
$V=\frac12\sum_{j=1}^N\int \epsilon E^2dV$ es la energía del campo eléctrico
$\Phi=\frac12Ri^2$ es la disipación térmica en la resistencia
$T$ es la energía cinética
$\Pi$ la energía potencial
$E$ la fem
$Q$ las fuerzas generalizadas

que es ligeramente diferente de la mecánica lagrangiana que has llegado a conocer.

En tu caso, $V=E=Q=0$ , partida

\begin{aligned} \frac{d}{d t} \frac{\partial W}{\partial i} + \frac{\partial Φ}{\partial i} & = 0 \\ \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{θ}} - \frac{\partial (T + W)}{\partial θ} + \frac{\partial Π}{\partial θ} & = 0 \end{aligned}

$\begin{align} \frac{d}{dt}\frac{\partial W}{\partial i}+\frac{\partial\Phi}{\partial i}&=0\\ \frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial\dot\theta}-\frac{\partial\left(T+W\right)}{\partial \theta}+\frac{\partial\Pi}{\partial \theta}&=0 \end{align}$ Insertar las formas de

W

$W$ ,

Φ

$\Phi$ ,

T

$T$ , y

Π

$\Pi$ has devuelto el formulario 2.2.2 de tu libro (lo hace para mí, al menos).

Ecuaciones de Euler-Lagrange de un péndulo de bucle de corriente en un campo magnético

estudiante1

Respuestas (1)

kyle kanos

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