¿Podemos resolver explícitamente la ecuación de Hamilton-Jacobi para una partícula en un campo magnético uniforme?

HJE para partículas cargadas no relativistas en un campo electromagnético es

1 2 metro ( ∇ S − q A ) 2 + q ϕ + ∂ S ∂ t = 0.

Para un campo magnético uniforme B = B 0 z ^ y una elección particular de calibre se convierte en algo como:

( ∂ S ∂ X ) 2 + ( ∂ S ∂ y − q B 0 X ) 2 + ( ∂ S ∂ z ) 2 = − 2 metro ∂ S ∂ t .

¿Podemos resolver esto explícitamente? Me parece que podemos empezar separando las variables t , z Dejando S = F ( X , y ) + pag z z − mi t , donación

( ∂ F ∂ X ) 2 + ( ∂ F ∂ y − q B 0 X ) 2 = 2 metro mi − pag z 2 ,

pero soy muy malo resolviendo ecuaciones diferenciales, así que no sé cómo proceder. Tampoco tengo intuición de cuál es la solución. S se supone que debe verse, aunque ya sé cómo se mueve una partícula en un campo magnético uniforme, así que no tengo ni idea de cómo adivinar una forma para S .

¿Es S la acción? Si es así, podría intentar leer la ecuación original como 1 2 metro ( pag − q A ) + q ϕ + S ˙ Si S ˙ es d S d t aquí tendría mucho cuidado en llamar a eso ∂ S ∂ t

Respuestas (2)

Sugerencias:

  1. Dado que no existe una dependencia temporal explícita en el problema de Landau , podemos utilizar la función característica de Hamilton W en lugar de la función principal de Hamilton

    (1) S   =   W − mi t .
    De este modo
    (2) ( ∂ W ∂ X ) 2 + ( ∂ W ∂ y − q B 0 X ) 2 + ( ∂ W ∂ z ) 2 = 2 metro mi .

  2. las dos variables y y z son variables cíclicas, por lo que los momentos correspondientes pag y y pag z se conservan, y la función característica de Hamilton se convierte en

    (3) W ( X , y , z )   =   w ( X ) + pag y y + pag z z .
    Así, la PDE de primer orden (2) se reduce a una ODE de primer orden
    (4) ( d w d X ) 2 + ( pag y − q B 0 X ) 2 + pag z 2 = 2 metro mi ,
    que tiene una solución explícita bien conocida.

Gracias, solucionado. Y obtuve la trayectoria, eventualmente. ¡Fue mucho más trabajo de lo que esperaba!

1) Siga el procedimiento del párrafo 3.3 (Una partícula cargada en un campo magnético) página 77 de este trabajo , al especializar su caso con k = λ = 0 , de modo que y = r

2) Finalmente obtienes la fórmula. ( 46 ) en la parte superior de la página 80 , y puede tomar:

S = F ( y ) + γ θ − α t

Así que tienes una ecuación diferencial para F , y puede obtener el resultado, de WA por ejemplo: aquí

Observación: El ejemplo se da en 2 dimensiones, por lo que con 3 dimensiones, puede simplemente tomar pag z = Cte y α → α − pag z 2 2 metro

¿Podemos resolver explícitamente la ecuación de Hamilton-Jacobi para una partícula en un campo magnético uniforme?
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