Ecuaciones de Maxwell a partir de la ecuación de Euler-Lagrange: sigo obteniendo la ecuación incorrecta

Estoy derivando las ecuaciones de Maxwell de este Lagrangiano:

$$\mathscr{L} \, = \, -\frac{1}{4} F^{\mu \nu}F_{\mu \nu} + J^\mu A_\nu \tag{1}$$

mi firma es

$$(+ - - -)\tag{2}$$ y

$$F^{\mu \nu} \, = \,\left(\begin{matrix}0 & -E_x & -E_{y} & -E_{z} \\ E_{x} & 0 & -B_{z} & B_{y} \\ E_y & B_{z} & 0 & -B_x \\ E_z & -B_{y} & -B_{x} & 0\end{matrix}\right)\tag{3}$$

Mi procedimiento es casi exactamente el mismo que este: https://physics.stackexchange.com/a/14854/121554

pero tiene un$+\frac{1}{4}F^{\mu \nu}F_{\mu \nu}$en el lagrangiano.

Entonces, mientras obtiene la ecuación correcta

$$\partial_\mu F^{\mu \nu}\, = \, J^\nu,\tag{4}$$ Llevo un signo menos hasta el final y mi ecuación final es

$$J^\nu \,=\, -\partial_\mu F^{\mu \nu}\, = \, \partial_\mu F^{\nu \mu}\, ; \tag{5}$$

Lo cual es claramente incorrecto si lo escribe explícitamente en función de los campos, la carga y las corrientes.

¿Mi lagrangiano es incorrecto para mi métrica y mi definición del tensor de campo electromagnético? Pasamos un rato hablando de ese lagrangiano en la lección y el profesor le dio mucha importancia a ese signo menos para tener un término cinético positivo. ¿Me estoy perdiendo de algo?

Puedo escribir todos mis cálculos si me lo solicitan, pero son básicamente los mismos del enlace que proporcioné anteriormente.