Ecuación maestra cuántica en el formalismo de Batalin-Vilkovisky

Question

Ecuación maestra cuántica en el formalismo de Batalin-Vilkovisky

brst
Física
teoría de calibre
cuantización
supersimetría
teoría cuántica de campos

solitón

Estoy leyendo la Sección 15.9 del libro de Weinberg "The Quantum Theory of Fields, vol. 2". bajo un cambio $\delta\Psi[\chi]$ en $\Psi[\chi]$ , tenemos

\begin{aligned} d Z & = i \int [d x] Exp (i I_{Ψ} [x]) {(\frac{d_{R} S [x, x^{‡}]}{d x_{norte}^{‡}})}_{x^{‡} = d Ψ / d x} (\frac{d (d Ψ [x])}{d x^{norte}}) \\ = i \int [d x] Exp (i I_{Ψ} [x]) {\frac{d_{L}}{d x^{norte}} (\frac{d_{R} S}{d x_{norte}^{‡}} d Ψ) - \frac{d_{R}}{d x_{norte}^{‡}} \frac{d_{L} S}{d x^{norte}} d Ψ}_{x^{‡} = d Ψ / d x} \\ = \int [d x] Exp (i I_{Ψ} [x]) {\frac{d_{R} S [x, x^{‡}]}{d x_{norte}^{‡}} \frac{d_{L} I_{Ψ} [x]}{d x^{norte}} - i Δ S [x, x^{‡}]}_{x^{‡} = d Ψ / d x} d Ψ [x] \end{aligned}

$\begin{split} \delta Z&=i\int[d\chi]\,\exp\big(iI_{\Psi}[\chi]\big) \left(\frac{\delta_RS[\chi,\chi^{\ddagger}]}{\delta\chi_n^{\ddagger}} \right)_{\chi^{\ddagger}=\delta\Psi/\delta\chi}\left( \frac{\delta(\delta\Psi[\chi])}{\delta\chi^n}\right) \\ &=i\int[d\chi]\,\exp\big(iI_{\Psi}[\chi]\big)\left\{\frac{\delta_L} {\delta\chi^n}\left(\frac{\delta_RS}{\delta\chi_n^{\ddagger}} \delta\Psi\right)-\frac{\delta_R}{\delta\chi_n^{\ddagger}} \frac{\delta_LS}{\delta\chi^n}\delta\Psi\right\}_{\chi^{\ddagger} =\delta\Psi/\delta\chi} \\ &=\int[d\chi]\,\exp\big(iI_{\Psi}[\chi]\big)\left\{ \frac{\delta_RS[\chi,\chi^{\ddagger}]}{\delta\chi_n^{\ddagger}} \frac{\delta_LI_{\Psi}[\chi]}{\delta\chi^n}-i\Delta S[\chi,\chi^{\ddagger}]\right\}_{\chi^{\ddagger}=\delta\Psi/ \delta\chi}\delta\Psi[\chi] \end{split}$

La última línea es exactamente igual a la Eq. (15.9.33). Refiriéndose a la definición de antibracket

(F, GRAMO) = \frac{d_{R} F}{d x^{norte}} \frac{d_{L} GRAMO}{d x_{norte}^{‡}} - \frac{d_{R} F}{d x_{norte}^{‡}} \frac{d_{L} GRAMO}{d x^{norte}}

$(F,G)=\frac{\delta_RF}{\delta\chi^n}\frac{\delta_LG}{\delta\chi_n^{\ddagger}}- \frac{\delta_RF}{\delta\chi_n^{\ddagger}}\frac{\delta_LG}{\delta\chi^n}$

podemos ver que la ecuación maestra cuántica dice

- (S, S) - 2 i Δ S = 0

$-(S,S)-2i\Delta S=0$

que tiene un signo menos adicional. No estoy seguro de si esto es un error tipográfico o no. ¿Alguien podría ayudarme a verificar esta derivación?

Además, también estoy confundido por $\delta_L$ y $\delta_R$ . Cualquier aclaración será apreciada.

¡Muchas gracias de antemano!

qmecanico

Hola @soliton: Ec. (15.9.35) en el libro de Weinberg dice

(S, S) - 2 i Δ S = 0

$(S,S)-2i\Delta S=0$ , que es la forma convencional, y sin un menos adicional. ¿El extra menos es algo que obtienes?

solitón

@Qmecánico: Sí. Si la ecuación. (15.9.33) se mantiene, tendrá un menos adicional.

Respuestas (1)

Ecuación maestra cuántica en el formalismo de Batalin-Vilkovisky

Hola @soliton: Ec. (15.9.35) en el libro de Weinberg dice $(S,S)-2i\Delta S=0$ , que es la forma convencional, y sin un menos adicional. ¿El extra menos es algo que obtienes?
@Qmecánico: Sí. Si la ecuación. (15.9.33) se mantiene, tendrá un menos adicional.

qmecanico · Answer 1

I) Aclaremos primero las derivadas izquierda y derecha. Las derivadas por la izquierda se explican entre la ec. (15.8.9) y (15.8.10) en la Ref. 1. Una derivada por la izquierda significa una derivada que actúa desde la izquierda. Por ejemplo, si $F= \chi G$ , dónde $G$ no depende de $\chi$ , entonces $\frac{\delta_LF}{\delta\chi}=G$ . Análogamente, una derivada de derecho actúa a partir del derecho. Por ejemplo, si $F= G\chi$ , entonces $\frac{\delta_RF}{\delta\chi}=G$ . Entonces se puede calcular que las derivadas izquierda y derecha son iguales hasta un factor de signo:

\begin{matrix} (A) & \frac{d_{L} F}{d x} = (- 1)^{(| F | + 1) | x |} \frac{d_{R} F}{d x} . \end{matrix}

$\tag{A} \frac{\delta_LF}{\delta\chi}~=~(-1)^{(|F|+1)|\chi|}\frac{\delta_RF}{\delta\chi}.$

Aquí $|F|$ denota la paridad de Grassmann de $F$ . Tenga en cuenta en particular que la derivada izquierda y derecha del fermión de calibre $\Psi[\chi]$ son lo mismo:

\begin{matrix} (B) & \frac{d_{L} Ψ}{d x} = \frac{d_{R} Ψ}{d x}, | Ψ | = 1. \end{matrix}

$\tag{B} \frac{\delta_L\Psi}{\delta\chi}~=~\frac{\delta_R\Psi}{\delta\chi}, \qquad |\Psi|~=~1.$

II) Consideremos ahora el formalismo de Batalin-Vilkovisky . Comenzamos con la acción maestra cuántica completa $S[\chi,\chi^{\ddagger}]$ , que depende de los campos $\chi^n$ y anticampos $\chi^{\ddagger}_n$ .

El laplaciano impar se define originalmente en la ec. (16b) de la ref. 2 como

\begin{matrix} (16b) & Δ_{B V} := \frac{d_{R}}{d x^{norte}} \frac{d_{L}}{d x_{norte}^{‡}} . \end{matrix}

$\tag{16b} \Delta_{BV}~:=~ \frac{\delta_R}{\delta\chi^n}\frac{\delta_L}{\delta\chi^{\ddagger}_n}.$

Árbitro. 1 define (erróneamente) al laplaciano impar como

\begin{matrix} (15.9.34) & Δ_{S W} := \frac{d_{R}}{d x_{norte}^{‡}} \frac{d_{L}}{d x^{norte}} . \end{matrix}

$\tag{15.9.34} \Delta_{SW}~:=~ \frac{\delta_R}{\delta\chi^{\ddagger}_n}\frac{\delta_L}{\delta\chi^n}.$

Se puede mostrar que las dos definiciones (16b) y (15.9.34) están relacionadas como

\begin{matrix} (C) & Δ_{B V} F = (- 1)^{| F | + 1} Δ_{S W} F . \end{matrix}

$\tag{C} \Delta_{BV}F~=~(-1)^{|F|+1}\Delta_{SW}F.$

En particular, las dos definiciones (16b) y (15.9.34) difieren por un signo

\begin{matrix} (D) & Δ_{B V} S = - Δ_{S W} S, | S | = 0, \end{matrix}

$\tag{D} \Delta_{BV} S~=~-\Delta_{SW} S, \qquad |S|~=~0,$

cuando se aplica a la acción $S$ , que es Grassmann-incluso $|S|=0$ .

III) La ecuación maestra cuántica (QME) se lee en la Ref. 2

\begin{matrix} (16a) & \frac{1}{2} (S, S) = i ℏ Δ_{B V} S, \end{matrix}

$\tag{16a} \frac{1}{2}(S,S)~=~i\hbar\Delta_{BV} S,$

mientras que el QME en la Ref. 1 lee

\begin{matrix} (15.9.35) & \frac{1}{2} (S, S) = i ℏ Δ_{S W} S . \end{matrix}

$\tag{15.9.35} \frac{1}{2}(S,S)~=~i\hbar\Delta_{SW} S.$

Entonces OP tiene razón. ecuaciones (15.9.34) y (15.9.35) son incompatibles entre sí. Hay una señal incorrecta en la Ref. 1 en cualquiera de las ec. (15.9.34) o ec. (15.9.35).

Referencias:

S. Weinberg, La teoría cuántica de los campos, vol. 2, 1996.
IA Batalin y GA Vilkovisky, Gauge Algebra and Quantization, Phys. Letón. B 102 (1981) 27–31.

Muchas gracias. Es de mucha ayuda. También leí la Ref. 2, pero entendí mal que el $\delta_L$ en Ref. 1 es igual a la $\delta_R$ en Ref. 2.
Tengo otra pregunta. ¿Por qué definimos $\delta_L$ como una acción de la izquierda? Esto es opuesto a la definición de esta página de Wikipedia donde $f \stackrel{\leftarrow }{\partial }_x g = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot g$ .
Como siempre, diferentes autores tienen diferentes convenciones. Existen diferentes convenciones para las derivadas izquierda y derecha. Del mismo modo, existen diferentes convenciones para la acción de los grupos de derecha e izquierda , y así sucesivamente. La página de Wikipedia que mencionas no es confiable en su estado actual. Podría mejorarlo en algún momento en el futuro.

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