Pregunta sobre vectores cerrados BRST que también son co-cerrados

Estoy estudiando el formalismo de cuantificación BRST de esta referencia.

Sin embargo, tengo una pregunta sobre la página 44.

El autor introduce un operador co-BRST en el espacio de Hilbert extendido (que también incluye fantasmas), denotado por ∗ Ω .

Al final de la página 44, dice que cualquier vector cerrado BRST Ω ψ = 0 se determina únicamente al requerir que también sea co-cerrado. Tengo problemas para entender este comentario.

Lo demuestra de la siguiente manera. Dejar ∗ Ω ψ = 0 ; entonces

∗ Ω ( ψ + Ω x ) = 0 ⇔   ∗ Ω Ω x = 0 ⇔ Ω x = 0.

No estoy seguro de cómo se deduce de esto que un vector cerrado por BRST Ω ψ = 0 se determina únicamente al requerir que sea co-cerrado. Supongamos que escribo un elemento de la cohomología como ψ ′ = ψ + Ω x . Si este vector es BRST cerrado, entonces ψ ′ ∈ ker ⁡ Ω . Si necesito que también se cierre conjuntamente, ¿significa esto que puedo dejar de lado el Ω x ¿parte? El autor también dice:

Por lo tanto, si consideramos las transformaciones BRST como transformaciones de calibre en estados en el espacio de Hilbert extendido generado por Ω , entonces ∗ Ω representa un operador de fijación de calibre que determina un solo estado particular fuera de la órbita BRST completa. Los estados que son tanto cerrados como cocerrados se denominan (BRST) armónicos.

¿Cómo puedo ver con precisión que el operador co-BRST representa un operador de fijación de calibre?

¡Busca la teoría de Hodge!

Respuestas (1)

Esta afirmación se deriva de la suposición de que en el espacio de Hilbert extendido H mi X t existe un producto interno no degenerado, consulte el último párrafo en la página 43.

Debido a esta suposición:

∗ Ω Ω x = 0 ⟹ ( ∗ Ω Ω x , x ) = ( Ω x , Ω x ) = 0 ⟹ Ω x = 0

Por lo tanto, si elige un vector que es tanto cerrado como cocerrado, no puede agregarle un vector exacto y al mismo tiempo preservar la propiedad de cercanía + co-cercanía, por lo que es una elección única entre todos los vectores cerrados que describen el mismo estado físico (es decir, que difieren en un vector exacto).

La fijación de calibre aquí es una fijación de calibre de la simetría BRST, es decir, la hipersuperficie en el espacio de Hilbert extendido definido por:

S = { ψ ∈ H mi X t ∣ ∗ Ω ψ = 0 }

encuentra cada órbita BRST (es decir, ψ + Ω x ) del mismo estado físico ( ψ ) Exactamente una vez.

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