(Anti)conmutación de fantasmas y fermiones

Question

(Anti)conmutación de fantasmas y fermiones

Física
teoría de calibre
cuantización
dinámica restringida
teoría cuántica de campos
cromodinámica-cuántica

Blazej

Me gustaría preguntar si los campos fermiónicos de Grassmann en una integral de ruta de teoría de calibre (digamos en QCD) deben elegirse para conmutar o anticonmutar con campos fantasma y anti-fantasma. La forma en que la mayoría de los libros de texto lo presentan sugiere que se debe elegir la anticonmutación, pero no conozco ningún argumento para esto. También está la cuestión de las relaciones de (anti)conmutación para los operadores correspondientes en el espacio de Kerin .

Me preguntaron en los comentarios dónde surgió este problema. Fue en derivación de la corriente BRS conservada en QCD. Permítanme explicar primero que en muchos libros se afirma que el operador BRS $s$ satisface la regla graduada de Leibniz con respecto al número de fermiones, por ejemplo $s ( \bar \psi \psi ) = (s \bar \psi ) \psi - \bar \psi s \psi$ . En una conferencia sobre anomalías a la que asistí recientemente, se afirmó que la regla de Leibniz graduada con respecto al número fantasma debería usarse en su lugar (o al menos puede usarse), por lo que $s ( \bar \psi \psi ) = (s \bar \psi ) \psi + \bar \psi s \psi$ pero $s (c^a c^b)=(sc^a) c^b - c^a (s c^b)$ . Por lo tanto, estoy naturalmente llevado a considerar variaciones de campos de la forma $\phi \to \phi + \epsilon s \phi$ , dónde $\epsilon$ es un parámetro de Grassmann que conmuta con $A, \psi, \bar \psi$ pero anticonmutación con $c^a$ y $\bar c^a$ . Encontré que bajo estas transformaciones, la variación de la acción toma la forma

d S = \int d^{4} X (\partial_{m} ϵ) [- F_{a}^{m v} D_{v} C^{a} + gramo \bar{ψ} γ^{m} C^{a} t_{a} ψ + b^{a} D^{m} C^{a} - \frac{1}{2} gramo F_{a b C} (\partial^{m} {\bar{C}}^{a}) C^{b} C^{C}] .

$\delta S = \int d^4 x (\partial_{\mu} \epsilon) \left[ - F_a^{\mu \nu} D_{\nu} c^a + g \bar \psi \gamma^{\mu} c^a t_a \psi + b^a D^{\mu} c^a - \frac{1}{2} g f_{abc} (\partial^{\mu} \bar c^a) c^b c^c \right].$ Vemos que dentro del paréntesis

[]

$[]$ tenemos una corriente conservada, a partir de ahora denotada

J_{B R S}^{μ}

$J_{\mathrm{BRS}}^{\mu}$ . Después de manipular esta corriente usando las ecuaciones de movimiento, encontré un término

g [\bar{ψ}, c^{a}] γ^{μ} t_{a} ψ

$g [\bar \psi, c^a] \gamma^{\mu} t_a \psi$ . Resulta que la evaluación explícita de la divergencia de

J_{B R S}^{μ}

$J_{\mathrm{BRS}}^{\mu}$ el uso de ecuaciones de movimiento da cero solo si este conmutador se toma como cero. Por lo tanto, me parece que esta es la única opción consistente con mi elección de la definición del operador BRS.

Observa que usé el Lagrangiano

L = - \frac{1}{4} F^{2} + \bar{ψ} (i γ \cdot D - METRO) ψ + \partial_{m} {\bar{C}}^{a} D^{m} C^{a} - A_{m}^{a} \partial^{m} b^{a} + \frac{1}{2} ξ b^{2},

$\mathcal L = - \frac{1}{4} F^2 + \bar \psi (i \gamma \cdot D - M) \psi + \partial_{\mu} \bar c^a D^{\mu}c^a - A^a_{\mu} \partial^{\mu} b^a + \frac{1}{2} \xi b^2 ,$ con derivada covariante

D = \partial + i g A

$D=\partial + ig A$ .

usuario178876

¿Puedes escribir un término en el que esto importe?

Blazej

Estimado @marmot en algunos cálculos (relacionados con el operador BRST) que hice en QCD encontré un término

\bar{ψ} c^{a} t_{a} ψ - c^{a} \bar{ψ} t_{a} ψ

$\bar \psi c^a t_a \psi - c^a \bar \psi t_a \psi$ . Se desvanece si el campo fantasma se conmuta con los campos espinores, pero no de otro modo.

usuario178876

¡Gracias! Me pregunto si desea agregar la derivación del término a la pregunta.

Profesor Legolasov

@Blazej, ¿podría explicar cómo este término ingresa a su cálculo y por qué es necesario? Físicamente, los fantasmas y los fermiones no se acoplan entre sí. De hecho, los fantasmas son simplemente una forma perturbadora de adaptarse a la corrección de la medida integral de la ruta de Yang-Mills que proviene de la fijación de indicadores. ¿Está utilizando una condición de fijación de calibre que implica fermiones?

Blazej

Estimados @marmot y Solenodon Paradoxus, Edité mi pregunta para especificar dónde surge mi problema.

DanielC

La simple mención de los espacios de Kerin me interesó, sin embargo, veo que esto no se persigue, por lo que estoy decepcionado.

qmecanico

¿ Qué página en Anomalías en QFT de Bertlmann?

Blazej

@DanielC, se mencionan los espacios Kerin porque, en última instancia, a uno también le gustaría convertir todos los campos en operadores, que actúan en un espacio con firma indefinida. Según tengo entendido, la estructura matemática adecuada para estos espacios es el espacio de Kerin, pero corríjame si me equivoco.

Blazej

Estimado @Qmechanic, lo siento, revisé ahora y parece que me confundí con alguna oración en Bertlmann. Esto significa que no tengo una referencia escrita confiable para el enfoque que estoy tratando de aplicar. Lo aprendí en una conferencia y le pediré a nuestro profesor algunas referencias.

Blazej

Para cualquier persona potencialmente interesada en esto en el futuro, observo que si se supone que el operador BRS satisface la regla graduada de Leibniz con respecto al número de fermión, entonces se obtiene la misma corriente BRS hasta la modificación del signo en el término fermiónico. Así después de aplicar los MOE vemos que para la conservación se requiere que

\bar{ψ}

$\bar \psi$ y

c^{a}

$c^a$ anticonmutación

Respuestas (1)

(Anti)conmutación de fantasmas y fermiones

Estimado @marmot en algunos cálculos (relacionados con el operador BRST) que hice en QCD encontré un término $\bar \psi c^a t_a \psi - c^a \bar \psi t_a \psi$ . Se desvanece si el campo fantasma se conmuta con los campos espinores, pero no de otro modo.
¡Gracias! Me pregunto si desea agregar la derivación del término a la pregunta.
@Blazej, ¿podría explicar cómo este término ingresa a su cálculo y por qué es necesario? Físicamente, los fantasmas y los fermiones no se acoplan entre sí. De hecho, los fantasmas son simplemente una forma perturbadora de adaptarse a la corrección de la medida integral de la ruta de Yang-Mills que proviene de la fijación de indicadores. ¿Está utilizando una condición de fijación de calibre que implica fermiones?
Estimados @marmot y Solenodon Paradoxus, Edité mi pregunta para especificar dónde surge mi problema.
La simple mención de los espacios de Kerin me interesó, sin embargo, veo que esto no se persigue, por lo que estoy decepcionado.
@DanielC, se mencionan los espacios Kerin porque, en última instancia, a uno también le gustaría convertir todos los campos en operadores, que actúan en un espacio con firma indefinida. Según tengo entendido, la estructura matemática adecuada para estos espacios es el espacio de Kerin, pero corríjame si me equivoco.
Estimado @Qmechanic, lo siento, revisé ahora y parece que me confundí con alguna oración en Bertlmann. Esto significa que no tengo una referencia escrita confiable para el enfoque que estoy tratando de aplicar. Lo aprendí en una conferencia y le pediré a nuestro profesor algunas referencias.
Para cualquier persona potencialmente interesada en esto en el futuro, observo que si se supone que el operador BRS satisface la regla graduada de Leibniz con respecto al número de fermión, entonces se obtiene la misma corriente BRS hasta la modificación del signo en el término fermiónico. Así después de aplicar los MOE vemos que para la conservación se requiere que $\bar \psi$ y $c^a$ anticonmutación

qmecanico · Answer 1

No está completamente claro qué está buscando OP, pero aquí hay algunos comentarios útiles:

Clásicamente (es decir, cuando la constante de Planck $\hbar\to 0$ ), dos campos $A$ y $B$ son superconmutativos
$A B = (- 1)^{| A | | B |} B A,$ $AB~=~(-1)^{|A||B|}BA,$ dónde $|A|$ y $|B|$ denote la correspondiente paridad de Grassmann. En otras palabras, el superconmutador clásico $[A, B] \equiv A B - (- 1)^{| A | | B |} B A = 0$ $[A,B]~\equiv~AB-(-1)^{|A||B|}BA~=~0$ desaparece
El superconmutador en la teoría cuántica es típicamente una deformación cuántica del superconmutador clásico.
Tenga en cuenta que los campos fantasma pueden ser pares de Grassmann e impares de Grassmann, según la teoría.
En principio, uno puede considerar superálgebras con varios independientes $\mathbb{Z}_2$ - o $\mathbb{Z}$ -calificaciones
$| \cdot |_{1}, \dots, | \cdot |_{norte} .$ $|\cdot|_1, \quad \ldots, \quad |\cdot|_n.$ El superconmutador en tal superálgebra se define entonces como $[A, B] \equiv A B - (- 1)^{\sum_{i = 1}^{norte} | A |_{i} | B |_{i}} B A .$ $[A,B]~\equiv~AB-(-1)^{\sum_{i=1}^n|A|_i|B|_i}BA.$ (Por ejemplo, uno podría considerar el grado de forma exterior y la calificación de Grassmann habitual como dos calificaciones independientes).
Una teoría puede permitir diferentes convenciones. El punto principal es que uno debe ser consistente.
Específicamente, en relación con los campos de materia de fermiones $\psi$ , campo fantasma de Faddeev-Popov $c$ y campos antifantasma $\bar{c}$ en la teoría de Yang-Mills, es posible establecer consistentemente la formulación BRST utilizando solo un tipo de clasificación de Grassmann, en el que $\psi$ , $c$ y $\bar{c}$ son todos impares de Grassmann y anti-conmutación por parejas.

Estimado @Qmechanic matemáticamente podemos tener una situación en la que tenemos dos álgebras de Grassmann independientes, generadas por $\eta_i$ y $\xi_i$ , de modo que $\{ \xi_i , \xi_j \} = \{ \eta_i , \eta_j \}=0$ pero $[\eta_i, \xi_j]=0$ . La pregunta es si tal construcción se implementa en las teorías cuánticas de campos.
Estimado @Qmechanic, tenga en cuenta que edité mi pregunta para especificar dónde surge exactamente el problema y qué me llevó a creer eso. $[c^a,\psi]=0$ (en el nivel de las variables de integración) es la definición consistente en el enfoque que estoy usando.
Acepto esta respuesta, aunque la cuestión de si la convención con el operador BRS tomado como calificado con respecto al número fantasma es aceptable todavía está abierta para mí. Sin embargo, no es estrictamente hablando la pregunta que hice originalmente, y puede ser muy difícil dar una respuesta definitiva.

(Anti)conmutación de fantasmas y fermiones

Blazej

usuario178876

Blazej

usuario178876

Profesor Legolasov

Blazej

DanielC

qmecanico

Blazej

Blazej

Blazej

Respuestas (1)

qmecanico

Blazej

Blazej

Blazej

Sumas de polarización en QCD para el cálculo de funciones de división del modelo de partón

¿Por qué se conserva el color en QCD?

La lógica de la gran expansión de NNN

Cuantificación de restricciones de primera clase para álgebras abiertas: ¿pueden coexistir la hermiticidad y la no conmutatividad?

¿Bajo qué casos el operador Batalin-Vilkovisky (BV) es nilpotente?

¿Cuáles son las diferencias entre la teoría de Yang-Mills y la QCD?

¿Por qué los estados normativos negativos rompen la unitaridad?

Interacción derivada: Hint≠−LintHint≠−Lint\mathcal{H}_\mathrm{int}\neq - \mathcal{L}_\mathrm{int}. Pregunta sobre las reglas de Feynman

Cuantificación de Batalin-Vilkovisky

¿Cuál es el efecto de incluir representaciones adicionales en la acción de una teoría de calibre reticular?