Energía potencial en relatividad general

1) Supongo que te refieres a la energía potencial de gravitación de la partícula de prueba. Bueno, tal cosa solo es útil en la medida en que esté relacionada con una constante de movimiento a lo largo de la geodésica; en el caso del potencial gravitacional, siendo parte de la energía mecánica conservada, cinético + potencial. (Otro ejemplo podría ser el momento angular.)

En GTR, estas constantes están dadas por un campo vectorial Killing , que es un generador infinitesimal de una isometría: el espacio-tiempo "se ve igual" en la dirección de un vector Killing. La mayoría de los espacios-tiempos no tienen ninguno, pero por definición, un espacio-tiempo estático tiene un campo vectorial Killing similar al tiempo, y siempre se puede expresar de la siguiente forma:

$$ds^2 = -\lambda dt^2 + d\Sigma^2,$$ dónde $d\Sigma^2$es la métrica para cualquier variedad espacial y $\lambda$es independiente de $t$. El factor $\lambda^{1/2}$es comúnmente llamado corrimiento al rojo gravitacional .

Por ejemplo, para el espacio-tiempo de Scwarzschild en las coordenadas habituales de Schwarzschild,$\lambda = \left(1-\frac{2GM}{c^2R}\right)$, y la siguiente es una constante de movimiento que representa la energía específica (por masa) de la partícula en caída libre:

$$e = \left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)\frac{dt}{d\tau}.$$ Esta es la generalización natural de la energía mecánica total , incluyendo también la energía de la masa en reposo; para el caso de Schwarzschild, la simetría esférica permite construir un "potencial efectivo" bastante análogo al caso newtoniano, pero ese enfoque es menos útil en general.

2) La energía gravitacional no se puede incluir explícitamente en las ecuaciones de campo de Einstein debido al principio de equivalencia: siempre hay un marco de inercia local (el de caída libre) en el que el espacio-tiempo se parece al relativista especial, plano y ordinario. Por lo tanto, si hubiera una noción local de energía gravitacional independiente del marco, es decir, un tensor, ese tensor es cero en algún marco local y, por lo tanto, cero en cada marco.

Sin embargo, uno puede pensar en la no linealidad de la ecuación de campo de Einstein como causada por la interacción de la propia energía gravitacional con el espacio-tiempo. En este sentido, la energía gravitatoria está incluida "implícitamente". Otra cosa que se puede hacer es tratar de construir otra noción de energía gravitacional que no sea necesariamente tanto local como independiente del marco, por ejemplo, el pseudotensor de Landau-Liftshitz y otros.

Como ha explicado Stan Liou , para un espacio-tiempo estático es posible definir una "energía potencial efectiva". Presento aquí un cómputo explícito. Efectivamente, para cualquier espacio-tiempo estático, la métrica se puede reducir a la forma:

$$\text{d}s^2 = -\lambda (x^1,x^2,x^3)\text{d}t\otimes\text{d}t + \text{d}\Sigma^2(x^1,x^2,x^3)$$

De la relación energía-momento fundamental, tenemos:

$$-\lambda \frac{E^2}{c^2} + p^2 = - m^2c^2$$

definiendo un "potencial gravitacional efectivo"$\phi_g$tal que:

$$1+\frac{2\phi_g}{c^2} = \lambda$$

Tenemos:

$$E = \frac{1}{\sqrt{1+(2\phi_g/c^2)}}\sqrt{p^2c^2+m^2c^4} = \frac{mc^2}{\sqrt{1+(2\phi_g/c^2)}}\sqrt{1+\frac{p^2}{m^2c^2}}, \qquad (*)$$

podemos reescribir la ecuación$(*)$, usando eso$\sqrt{1+y} \approx 1+y/2$, como:

$$E \approx \left(1-\frac{\phi_g}{c^2}\right)mc^2\left( 1+ \frac{1}{2}\frac{p^2}{m^2c^2}\right) \approx mc^2 + \frac{p^2}{2m} + m\phi_g$$

que es la expresión clásica de energía más energía en reposo. Entonces podemos escribir para el caso relativista:

$$E \approx (1-\phi_g/c^2)\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}$$

que es válido cuando$\phi_g << c^2$