¿Es en general cierto que ∇μTμν=0∇μTμν=0\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0 implica las ecuaciones de movimiento de la materia?

"The Equations of Motion" de Joshua N. Goldberg (en Gravitation: An Introduction to Current Research , ed. Louis Witten, 1962) respondió a esta pregunta Sí$\nabla_{\mu}T^{\mu\nu}=0$da las ecuaciones de movimiento .

Algunas referencias adicionales:

• Joshua N. Goldberg, "Leyes de conservación fuertes y ecuaciones de movimiento en teorías de campos covariantes". física Rev. 89 263 (1953)
• JN Goldberg, "Leyes de conservación en la relatividad general". física Rev. 111 315 (1958)
• Joshua N. Goldberg y Peter Havas, "Ecuaciones invariantes de Lorentz del movimiento de masas puntuales en la teoría general de la relatividad". física Rev. 128 398 (1962)

Desde$\nabla_\mu T^{\mu\nu} = 0$tiene cuatro índices libres, basta con dar ecuaciones de movimiento para materia con cuatro grados de libertad. El caso de partículas que no interactúan ("polvo" en la mecánica de fluidos continuos relativistas generales) cae en esta categoría, y su movimiento geodésico se deriva de la ley de conservación.

Sin embargo, es posible que necesite más grados de libertad dependiendo de lo que esté evolucionando exactamente. Por ejemplo, en un fluido con una velocidad y dos grados de libertad termodinámicos, necesita otra ecuación, que a menudo se toma como la conservación de la densidad del número de partículas comóviles.$\nabla_\mu (nu^\mu) = 0$o densidad de masa en reposo comoviva$\nabla_\mu (\rho u^\mu) = 0$. Este es el caso clásico de flujo de Euler compresible. Imagine la diferencia entre un fluido estable y uno en el que las partículas masivas podrían aniquilarse en fotones (conservando la energía y el momento): estos tendrían comportamientos muy diferentes.

Otro ejemplo de necesidad de otra ecuación es la magnetohidrodinámica ideal: el caso anterior pero con el fluido siendo un conductor perfecto, es decir, sin campo eléctrico en su estructura de reposo. Agregarías algo como$\nabla_\mu ({}^*F^{\mu\nu}) = 0$.

Informal, la respuesta corta sería:$\nabla_a T^{ab} = 0$se puede utilizar para deducir al menos una parte (pero no necesariamente la totalidad) de las ecuaciones del campo de materia. Una discusión reciente sobre esta pregunta se puede encontrar en las secciones 5 y 6 del documento.

I. Smolić: "Sobre los diversos aspectos de los potenciales electromagnéticos en el espacio-tiempo con simetrías", Clase. Gravedad Cuántica. 31 (2014) 235002. DOI: 10.1088/0264-9381/31/23/235002 . arXiv: 1404.1936 [gr-qc] .