Algún aspecto de la derivada covariante del tensor de energía-momento de partículas puntuales

Mi pregunta está relacionada con la Derivación de la ecuación geodésica a partir de la ecuación de continuidad para el tensor de momento de energía.

Necesito entender un paso en la derivación.

Consideremos el tensor Energía-momento de la partícula puntual:

$$\begin{equation}\label{1} T^{\mu\nu}(x) = \frac{m}{\sqrt{-g(x)}}\int d\tau \frac{dX^{\mu}}{d\tau}\frac{dX^{\nu}}{d\tau}\delta^{(4)}(x - X(\tau)) \end{equation}$$

Queremos encontrar una derivada covariante de$T^{\mu\nu}$. Para un tensor simétrico arbitrario, la derivada covariante es:

$$\begin{equation}\label{2} \nabla_{\mu} T^{\mu\nu} = \frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\partial \left( \sqrt{-g} T^{\mu\nu}\right) }{\partial x^{\mu}} + \Gamma^{\nu}_{\mu\lambda}T^{\mu\lambda} \end{equation}$$

Y para nuestro caso, consideremos la derivada$\frac{1}{\sqrt{-g(x)}} \frac{\partial \left( \sqrt{-g(x)} T^{\mu\nu}\right) }{\partial x^{\mu}}$:

$$\begin{multline} \frac{1}{\sqrt{-g(x)}} \frac{\partial \left( \sqrt{-g(x)} T^{\mu\nu}\right) }{\partial x^{\mu}} = \\ = \frac{1}{\sqrt{-g(x)}} m \int d\tau \frac{dX^{\mu}}{d\tau}\frac{dX^{\nu}}{d\tau}\frac{\partial }{\partial x^{\mu}} \left[ \delta^{(4)}(x - X(\tau))\right] = \\ = - \frac{1}{\sqrt{-g(x)}} m \int d\tau \frac{dX^{\mu}}{d\tau}\frac{dX^{\nu}}{d\tau}\frac{\partial}{\partial X^{\mu}} \left[ \delta^{(4)}(x - X(\tau)) \right] = \\ = - \frac{1}{\sqrt{-g(x)}} m \int d\tau \frac{dX^{\nu}}{d\tau}\frac{d}{d\tau}\left[ \delta^{(4)}(x - X(\tau))\right] = ?\\ \end{multline}$$

¿Qué propiedad correcta de$\delta$-función debo usar para el siguiente paso? Integrar por parte creo que no es completamente correcto.