Derivación de la expresión de velocidad SHM amortiguada

Esto es de Main: Vibrations and Waves in Physics .

Este es un tratamiento estándar (básico), con respecto a la amortiguación de luz SHM y el uso de una solución de prueba$x=Ce^{pt}$.

Las raíces de p son$-\frac {\gamma}{2} \pm i{\omega_f}$

Dónde

$${\omega_f} =({ \omega_0^2}-\frac {\gamma^2}{4})^{1/2}$$ $$={\omega_0}[1-(\frac {\gamma}{2 \omega_0})^2]^{1/2}$$

Hasta ahora, tan estándar. Main luego da (Página 36), las 4 diferentes variedades de expresar$x(t)$en términos de identidades trigonométricas y notación compleja.

Lo que me está perdiendo aquí son los pasos implícitos en la diferenciación de la primera de estas expresiones a continuación (produciendo la segunda), necesarios para establecer las condiciones iniciales, simplemente no puedo verlo.

$$x=A \cos {\theta} ={A_1}$$

$${\dot x}=-\frac {\gamma}{2}A\cos {\theta}-{\omega_f}A\sin {\theta}=0$$

He mirado a través de varias fuentes, pero con varias notaciones e identidades trigonométricas, he perdido el flujo.

He leído archivos pdf como French y MIT Open Courseware, pero me gustaría mantener la notación y el enfoque utilizados por Main.

Estudio por mi cuenta (y sigo el 90 por ciento del resto del libro) pero este estúpido congelamiento de cerebro me está irritando.