Ecuación de Schrödinger (explicación para no físicos)

Lo que escribes es la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo. Esta no es la ecuación de una onda verdadera. Postuló la ecuación utilizando un enfoque heurístico y algunas ideas/analogías de la óptica, y creía en la existencia de una onda verdadera. Sin embargo, la interpretación correcta de$\Psi$fue dado por Born:$\Psi$es una función no observable , cuyo cuadrado complejo$|\Psi|^2$da probabilidades. En la literatura antigua$\Psi$todavía se denomina función de onda. En la literatura moderna se prefiere el término función de estado . Los términos "ecuación de onda" y "formulación de onda" son términos heredados.

De hecho, parte de la confusión que tenía Schrödinger, cuando creía que su ecuación describía una onda física, se debe a que trabajaba con partículas individuales. En ese caso$\Psi$se define en un espacio abstracto que es isomorfo al espacio tridimensional. Sin embargo, cuando consideras una segunda partícula y escribes$\Psi$para un sistema de dos cuerpos, el isomorfismo se rompe y la analogía superficial con una onda física se pierde por completo. Una buena discusión de esto se da en el libro de texto de Ballentine sobre mecánica cuántica (sección 4.2).

La ecuación de Schrödinger no se puede derivar de la teoría ondulatoria. Por eso se postula la ecuación en la mecánica cuántica.

No hay hamiltoniano para un estado; el hamiltoniano es característico de un sistema dado con independencia de su estado. La energía es una posible propiedad física de un sistema, uno de los posibles observables de un sistema; es más correcto decir que el hamiltoniano da la energía de un sistema en los casos en que el sistema se encuentra en un determinado estado. Un sistema cuántico siempre tiene un hamiltoniano, pero no siempre tiene una energía definida. Solo ciertos estados$\Psi_E$que satisfacen la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo$H\Psi_E = E \Psi_E$están asociados a un valor$E$de energía. El sistema cuántico puede estar en una superposición del$\Psi_E$estados o puede estar en estados más generales para los cuales la energía no está definida.

funciones de onda$\Psi$tienen que satisfacer una serie de requisitos básicos como continuidad, diferenciabilidad, finitud, normalización... Algunos textos enfatizan que las funciones de onda serían monovaluadas, pero esto ya lo tomo en la definición de función.

La ecuación de Schrödinger da tanto "la forma de la función de onda" como "la evolución de una función de onda". Si usted sabe$\Psi$en algún momento inicial e integrar la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo se obtiene la forma de la función de onda en algún otro instante: por ejemplo, la integración es directa y da$\Psi(t) = \mathrm{Texp}(-\mathrm{i}/\hbar \int_0^t H(t') dt') \Psi(0)$, dónde$\mathrm{Texp}$denota una exponencial ordenada en el tiempo. Esta ecuación también da la evolución de la función de onda inicial$\Psi(0)$. Cuando el hamiltoniano es independiente del tiempo, la solución se simplifica a$\Psi(t) = \exp(-\mathrm{i}Ht/\hbar) \Psi(0)$.

Para estados estacionarios, la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo que escribe se reduce a la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo$H\Psi_E = E \Psi_E$; la demostración se da en cualquier libro de texto. Para estados estacionarios no hay evolución de la función de onda,$\Psi_E$no depende del tiempo, y al resolver la ecuación solo se obtiene la forma de la función de onda.

No debe pensar en la ecuación de Schrödinger como una ecuación de onda verdadera. En electricidad y magnetismo, la ecuación de onda generalmente se escribe como

$$\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

con dos derivadas temporales y dos espaciales. En particular, pone el tiempo y el espacio en 'igualdad de condiciones', en otras palabras, la ecuación es invariante bajo las transformaciones de Lorentz de la relatividad especial. La ecuación de Schrödinger unidimensional dependiente del tiempo para una partícula libre es

$$\mathrm{i} \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}$$

que tiene una derivada temporal pero dos derivadas espaciales, por lo que no es invariante de Lorentz (pero es invariante de Galileo). Para un potencial conservativo, generalmente agregamos$V(x) \psi$al lado derecho.

Ahora, puede resolver la ecuación de Schrödinger en varias situaciones, con potenciales y condiciones de contorno, como cualquier otra ecuación diferencial. En general, resolverá una solución compleja (analítica)$\psi(\vec r)$: la mecánica cuántica exige funciones complejas, mientras que en la ecuación de onda (clásica, E&M) las soluciones complejas son simplemente una abreviatura de las reales. Además, debido a la interpretación probabilística de$\psi(\vec r)$, exigimos que todas las soluciones se normalicen de manera que$\int |\psi(\vec r)|^2 dr = 1$. Podemos hacer eso porque es lineal (piense en 'lineal' como en álgebra lineal), solo restringe la cantidad de soluciones que puede tener. Estos requisitos, más la linealidad, le otorgan las siguientes propiedades:

1. Puedes poner cualquier$\psi(\vec r)$en la ecuación de Schrödinger (siempre que esté normalizada y sea 'agradable'), y la dependencia del tiempo en la ecuación predecirá cómo evoluciona ese estado.

2. Si$\psi$es una solución a una ecuación lineal,$a \psi$es también una solución para algunos (complejos)$a$. Sin embargo, decimos que todos esos estados son 'lo mismo' y, de todos modos, solo aceptamos soluciones normalizadas ($\int |a\psi(\vec r)|^2 dr = 1$). Decimos que soluciones como$-\psi$, y más generalmente$e^{i\theta}\psi$, representan el mismo estado físico.

3. Algunas soluciones especiales$\psi_E$son estados propios del lado derecho de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo y, por lo tanto, se pueden escribir como

   $$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi_E}{\partial x^2} = E \psi_E$$ y se puede demostrar que estas soluciones tienen la particular dependencia del tiempo$\psi_E(\vec r, t) = \psi_E(\vec r) e^{-i E t/\hbar}$. Como sabrá por el álgebra lineal, la descomposición de estados propios es muy útil. Físicamente, estas soluciones son "estados propios de energía" y representan estados de energía constante.

4. Si$\psi$y$\phi$son soluciones, también lo es$a \psi + b \phi$, mientras$|a|^2 + |b|^2 = 1$para mantener la solución normalizada. Esto es lo que llamamos una 'superposición'. Un componente muy importante aquí es que hay muchas formas de 'agregar' dos soluciones con pesos iguales:$\frac{1}{\sqrt 2}(\psi + e^{i \theta} \phi)$son soluciones para todos los ángulos$\theta$, por lo que podemos combinar estados con signos más o menos. Esto resulta crítico en muchos fenómenos cuánticos, especialmente los fenómenos de interferencia como las oscilaciones de Rabi y Ramsey que seguramente aprenderá en una clase de computación cuántica.

Ahora, la conexión con la física.

1. Si$\psi(\vec r, t)$es una solución a la ecuación de Schrödinger en la posición$\vec r$y tiempo$t$, entonces la probabilidad de encontrar la partícula en una región específica se puede encontrar integrando$|\psi^2|$alrededor de esa región. Por ello, identificamos$|\psi|^2$como la solución de probabilidad para la partícula.

   • Esperamos la probabilidad de encontrar una partícula en algún lugar en un momento determinado$t$. La ecuación de Schrödinger tiene la propiedad (esencial) de que si$\int |\psi(\vec r, t)|^2 dr = 1$en un momento dado, entonces la propiedad se mantiene en todo momento. En otras palabras, la ecuación de Schrödinger conserva la probabilidad. Esto implica que existe una ecuación de continuidad.

2. Si quieres saber el valor medio de un observable$A$en un momento dado simplemente integrar

   $$<A> = \int \psi(\vec r, t)^* \hat A \psi(\vec r, t) d\vec r$$ dónde$\hat A$es el operador lineal asociado al observable. En la representación de posición, el operador de posición es$\hat A = x$, y el operador de cantidad de movimiento,$\hat p = - i\hbar \partial / \partial x$, que es un operador diferencial.

La conexión con De Broglie se considera mejor como histórica. Está relacionado con cómo Schrödinger descubrió la ecuación, pero no busques una conexión rigurosa. En cuanto al hamiltoniano, es un concepto muy útil de la mecánica clásica. En este caso, el hamiltoniano es una medida de la energía total del sistema y se define clásicamente como$H = \frac{p^2}{2m} + V(\vec r)$. En muchos sistemas clásicos es una cantidad conservada.$H$también le permite calcular ecuaciones clásicas de movimiento en términos de posición y momento. Un gran salto a la mecánica cuántica es que la posición y el momento están vinculados, por lo que saber "todo" sobre la posición (la función de onda$\psi(\vec r))$en un momento te dice 'todo' sobre el impulso y la evolución. En la mecánica clásica, esa información no es suficiente, debe conocer tanto la posición como el impulso de una partícula para predecir su movimiento futuro.

Si tomas la ecuación de onda

$$\nabla^2\phi = \frac{1}{u^2}\frac{d^2\phi}{dt^2}\text{,}$$ y considere un componente de frecuencia única de una onda mientras elimina su dependencia del tiempo, $\phi = \psi e^{-i\omega t}$, después: $$\nabla^2 \phi = -\frac{4\pi^2}{\lambda^2}\phi\text{,}$$ pero eso significa que la amplitud de la onda debe satisfacer una ecuación de la misma forma: $$\nabla^2 \psi = -\frac{4\pi^2}{\lambda^2}\psi\text{,}$$ y si conoces la relación de de Broglie $\lambda = h/p$, donde para una partícula de energía $E$en un potencial $V$tiene impulso $p = \sqrt{2m(E-V)}$, de modo que: $$\underbrace{-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi + V\psi}_{\hat{H}\psi} = E\psi\text{,}$$ Por lo tanto, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo tiene una conexión con la ecuación de onda. La ecuación completa de Schrödinger se puede recuperar volviendo a poner la dependencia del tiempo, $\Psi = \psi e^{-i\omega t}$respetando el de Broglie $E = \hbar\omega$: $$\hat{H}\Psi = (\hat{H}\psi)e^{-i\omega t} = \hbar\omega \psi e^{-i\omega t} = i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}\text{,}$$ y luego aplicar el principio de superposición para el caso general.

Sin embargo, en este proceso la aplicación repetida de las relaciones de De Broglie nos aleja de las ondas clásicas o de las partículas clásicas; en qué medida la "función de onda" resultante debe considerarse una onda es principalmente un problema semántico, pero definitivamente no es en absoluto una onda clásica . Como han profundizado otras respuestas, la interpretación adecuada para esta nueva "función de onda"$\Psi$es inherentemente probabilístico, con su módulo cuadrado representando una densidad de probabilidad y el gradiente de la fase compleja siendo la corriente de probabilidad (escalada por algunas constantes y la densidad de probabilidad).

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En cuanto a las relaciones de De Broglie en sí, es posible "adivinarlas" al hacer una analogía de ondas a partículas. Escritura$u = c/n$y buscando soluciones cercanas a la forma de onda plana,$\phi = e^{A+ik_0(S-ct)}$, la ecuación de onda da:

$$\begin{eqnarray*} \nabla^2A + (\nabla A)^2 &=& k_0^2[(\nabla S)^2 - n^2]\text{,}\\ \nabla^2 S +2\nabla A\cdot\nabla S &=& 0\text{.} \end{eqnarray*}$$ Suponiendo que el índice de refracción $n$cambia lentamente en distancias del orden de la longitud de onda, luego $A$no varía mucho, la longitud de onda es pequeña, por lo que $k_0^2 \propto \lambda^{-2}$es largo. Por lo tanto, el término entre corchetes debe ser pequeño y podemos hacer la aproximación: $$(\nabla S)^2 = n^2\text{,}$$ que es la ecuación eikonal que vincula la ecuación de onda con la óptica geométrica, en la que el movimiento de la luz de pequeñas longitudes de onda en un medio con un índice de refracción adecuado puede tratarse como rayos , es decir, como si estuviera descrito por caminos de partículas/corpúsculos.

Para que funcione la analogía de la partícula, la función eikonal$S$debe asumir el papel de la función característica de Hamilton$W$formado por la separación de variables de la ecuación clásica de Hamilton-Jacobi en$W - Et$, lo que obliga a esta última a ser proporcional a la fase total de la onda, dando$E = h\nu$para alguna constante desconocida de proporcionalidad$h$(físicamente la constante de Planck). El índice de refracción$n$corresponde a$\sqrt{2m(E-V)}$.

Esto se analiza, por ejemplo, en Mecánica clásica de Goldstein , si está interesado en los detalles.