Ecuación de Schrödinger en coordenadas esféricas

La diferencia se debe al hecho de que los armónicos sólidos no son armónicos esféricos. Entonces, la ecuación (2) y la ecuación más convencional de Griffith son ecuaciones para diferentes funciones$\phi$. La ecuación de Schrödinger. (1)

$$-\frac{1}{2r^2}\frac{\partial}{\partial r} \left( r^2\frac{\partial}{\partial r}\psi\right) + \frac{\hat{L}^2}{2r^2}\psi + V\psi ~=~ E\psi$$

de hecho se convierte por sustitución

$$\psi ~=~ R(r) Y_{\ell m}(\theta,\varphi)~=~ \phi(r) r^{\ell} Y_{\ell m}(\theta,\varphi)$$ a la ecuación (2) si haces los cálculos correctamente. Nota $r^{\ell}$aquí: es lo que diferencia a los armónicos sólidos de los armónicos esféricos . Por otro lado, la función de Griffith $\phi(r)$Se define como $rR(r)$.

Los armónicos sólidos fueron explicados por Misha, así que déjame completar el resto de los detalles.

El operador laplaciano viene dado por$\Delta = \partial_x^2 + \partial_y^2 + \partial_z^2$. Primero supongamos que solo nos interesa la parte radial. Usando la regla de la cadena (y dejando$D \equiv \partial_r$, como en sus referencias), podemos escribir

$$\partial_x = r_{,x} D, \quad \partial_x^2 = r_{,xx} D + (r_{,x} D)^2.$$ Necesitamos calcular $$r_{,x} = {\partial \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \over \partial x } = {x \over r}$$ y $$r_{,xx} = \partial_x {x \over r} = {1 \over r} - {x^2 \over r^3}.$$ Las expresiones para $\partial_y$y $\partial_z$son por supuesto similares, por lo que $$\Delta = ({3 \over r} - {r^2 \over r^3})D + D^2 = {2 \over r}D + D^2.$$

Ahora, la parte esférica del operador laplaciano viene dada por$-{L^2 \over r^2}$dónde$\mathbf L$es el operador de momento angular. Si usamos armónicos esféricos de nivel$l$(que son estados propios de L ^ 2 correspondientes al valor propio$l(l+1)$) y hacer una sustitución$\phi \to {\phi \over r}$obtenemos el resultado de Griffith.