Ecuación de Schrödinger de partículas libres: propagador

Estoy leyendo los Principios de mecánica cuántica de Shankar y tengo problemas para encontrar el propagador de partículas libre.$U(t)$que satisface

$$\lvert\psi (t)\rangle = U(t)\lvert\psi (0)\rangle$$ debido a la degeneración del$E$autoconsumos. Shankar dice que si el hamiltoniano tiene valores propios degenerados, cambiamos la ecuación del propagador de $$U(t) = \sum_{E} \lvert E\rangle\langle E\rvert e^{-iEt/{\hbar}}\tag{4.3.13}$$ a $$U(t) = \sum_{E} \sum_\alpha \lvert E, \alpha\rangle\langle E, \alpha\rvert e^{-iEt/\hbar}$$ dónde$\lvert E, \alpha \rangle$son los mercados propios ortonormales para el$E$espacio propio. Esto tiene sentido para mí, porque parece que cada vez que tratamos con la degeneración usamos una proyección. También dice que para un hamiltoniano sin degeneración cambie la suma a una integral, así que me imagino que para un hamiltoniano con un espectro degenerado continuo tendríamos este propagador: $$U(t) = \sum_\alpha\int_\Re dE\lvert E, \alpha\rangle\langle E, \alpha\rvert e^{-iEt/\hbar}$$

Intenté aplicar esto a la partícula libre y tuve algunos problemas. En el libro, después de resolver los autos y valores propios,$\lvert E\rangle = \lvert p\rangle$y$p = \pm\sqrt{2mE}$, elige el propagador en función de los valores propios del impulso$p$de modo que

$$U(t) = \int_\Re dp\lvert p\rangle\langle p\rvert \exp(-ip^2t/2m).\tag{5.1.9}$$ Entiendo cómo llegó a esto, pero tengo algunos problemas porque no parece ser la misma expresión que tengo arriba. Dividiendo la integral, tenemos $$U(t) = \int_{-\infty}^0dp\lvert p\rangle\langle p\rvert \exp(-ip^2t/2m) + \int_0^\infty dp\lvert p\rangle\langle p\rvert \exp(-ip^2t/2m)$$ La integral de la izquierda se puede cambiar a una integral sobre$-p$, y los límites cambian de$0$a$\infty$tal que: $$U(t) = \int_{0}^\infty d(-p)\lvert -p\rangle\langle -p\rvert \exp(-ip^2t/2m) + \int_0^\infty dp\lvert p\rangle\langle p\rvert \exp(-ip^2t/2m)$$ Ahora podemos sustituir e intercambiar$\lvert p\rangle = \lvert E, + \rangle$,$\lvert -p\rangle = \lvert E, - \rangle$,$E = p^2/2m$, y$dp = \pm mdE/\sqrt{2mE}$Llegar: $$U(t) = \sum_{\alpha = \pm} \int_0^\infty dEm/\sqrt{2mE}\lvert E, \alpha\rangle\langle E, \alpha\rvert e^{-iEt/\hbar}.$$ Este es el resultado que se nos pide demostrar en el Ejercicio 5.1.1. ¿Por qué no es lo mismo que la primera expresión del propagador? ¿De dónde salió el extra?$m/\sqrt{2mE}$¿viene de? ¿Me equivoco al suponer que esa es la expresión general para un hamiltoniano con valores propios continuos y degenerados?