¿Cómo llenar los vacíos en esta construcción QFT?

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¿Cómo llenar los vacíos en esta construcción QFT?

Física
espacio de hilbert
mecánica cuántica
segunda cuantización
teoría cuántica de campos
ecuación de klein-gordon

Oro

He visto en varios libros y notas de conferencias la cuantización del campo KG libre, y tal vez porque soy un tipo de persona que se siente incómoda con las construcciones de "agitar la mano", todavía siento la necesidad de un algo un poco más riguroso enfoque que no encontré en ninguna parte.

Para resumir, la forma en que esto se hace en todas partes es:

Primero tome la transformada de Fourier de la ecuación de KG $\Box\phi = 0$ y darnos cuenta de que en el espacio de Fourier obtenemos la evolución temporal de innumerables osciladores armónicos, es decir, la ecuación $\partial_t \hat{\phi}(t,\mathbf{p})+\omega_p^2 \hat{\phi}(t,\mathbf{p})=0$ con $\mathbf{p}$ fijado.
De esto se afirma directamente que el campo cuántico es
$ϕ (X, t) = \int \frac{d^{3} pag}{(2 π)^{3}} (a_{pag} {mi}^{- i {pag}_{m} X^{m}} + a_{pag}^{†} {mi}^{i {pag}_{m} X^{m}})$ $\phi(x,t)=\int \dfrac{d^3 p}{(2\pi)^3}(a_p e^{-i p_\mu x^\mu}+a_p^\dagger e^{ip_\mu x^\mu})$

importante aquí nadie ha definido los operadores $a_p$ . En este punto, uno afirma que esto es solo una consecuencia de que el campo es equivalente a innumerables osciladores desacoplados y afirma que solo está usando los resultados de QM del oscilador armónico, pero no se hace una construcción muy precisa.
De ahí se deriva que las relaciones de conmutación para $\phi,\pi$ son equivalentes a las relaciones de conmutación $[a_p,a_q^\dagger]=i\delta(p-q)$ y $[a_p,a_q]=[a_p^\dagger,a_q^\dagger]=0$ trabajando formalmente. Recuerda que tampoco $\phi(x)$ , ni $a_p$ , ni nunca se definió el espacio donde actúan.
Uno simplemente afirma que es obvio que el espacio donde actúan estos operadores es un espacio de Fock (aunque no se dice nada sobre el hecho de que el espacio de Fock habitual se construye sobre muchos espacios contables de Hilbert, mientras que aquí tenemos incontables osciladores de melena en el clásico). Imagen como se explica en (1)). Otro tema que nunca se aborda es que el espacio de Fock requiere virar el producto tensorial simétrico o antisimétrico, y no se aclara cuál de ellos y cómo se derivó.
Para colmo, con nunca haber definido $a_p$ uno solo afirma que hay un estado $|0\rangle$ tal que $a_p |0\rangle = 0$ y que para cada $p$ Se corrigieron los resultados para los operadores de escalera del oscilador armónico que se pueden trasladar y adaptar.

Quiero decir, entiendo que el rigor es complicado en QFT. He leído un poco sobre eso. Pero esta es otra historia: ¡aquí las cosas surgen de la nada!

Como ejemplo, no tengo ningún problema con el formalismo de Dirac en QM, aunque hacerlo riguroso es muy complicado, pero me parece bien porque las suposiciones se aclaran en la mayoría de los libros de QM y las derivaciones casi siempre son hecho sin que nada salga de la nada. La derivación del espectro y los estados propios del SHO, por ejemplo, se lleva a cabo en detalle y de manera económica en muchos libros.

Ahora bien, este procedimiento de cuantificación tiene muchas lagunas que no se explican. La relación entre el campo, los osciladores armónicos y el espacio de Fock se usa todo el tiempo, pero nunca se precisa. Uno simplemente afirma cosas sin mucha explicación.

¿Qué está pasando aquí realmente? ¿Cómo precisar toda esta construcción y estas relaciones? ¿Qué se puede hacer para que al menos queden claras las suposiciones y la derivación también? ¿Cómo podemos construir todo esto de una manera más integral?

Conde Iblis

Prueba este libro , es el análogo QFT de la obra maestra de Dirac "El principio de la mecánica cuántica".

prahar

¿Recuerdas cómo se cuantifica el oscilador armónico simple?

Oro

Sí, @Prahar, sin embargo, no puedo ver una conexión precisa. Mi punto es: al cuantificar el SHO en QM, asumimos que tenemos un espacio de estado

E

$\mathcal{E}$ con operadores

X, P

$X,P$ satisfactorio

[X, P] = i ℏ

$[X,P]=i\hbar$ junto con una representación

X | x ⟩ = x | x ⟩

$X|x\rangle=x|x\rangle$ calle. podemos representar kets

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$ por funciones

ψ (x) = ⟨ x | ψ ⟩

$\psi(x)=\langle x |\psi\rangle$ . Estas estructuras se suponen dadas (creo que esto puede parecer un uso implícito del teorema de Stone-von Neumann). Entonces en términos de estos definimos

a

$a$ y

a^{†}

$a^\dagger$ factorizar

H

$H$ .

Oro

Luego demostramos muchas propiedades de estos operadores que permiten encontrar los valores propios y los estados propios de

H

$H$ . Pero solo podemos hacer esto porque hemos definido

a

$a$ y

a^{†}

$a^\dagger$ en un espacio que se supone dado en términos de operadores que ya tenemos. En otras palabras, hay un punto de partida claro de donde todo se deriva y ese es

E

$\mathcal{E}$ , los operadores

X, P

$X,P$ y la representación

| x ⟩

$|x\rangle$ . No puedo ver esta estructura clara al cuantificar el campo escalar libre.

Pedro Kravchuk

Si no te gusta agitar las manos, lee los libros de Weinberg;)

prahar

@ user1620696 - La idea de cuantificar una teoría clásica es la siguiente. Dado un espacio de fase clásico

M

$M$ con funciones

f (p, q)

$f(p,q)$ (todos los cuales corresponden a observables) y una forma simpléctica

Ω

$\Omega$ en

M

$M$ , la cuantificación es el proceso de encontrar una representación lineal del espacio de fase clásico en un espacio cuántico de Hilbert. Cada función se asigna a un operador lineal que actúa sobre el espacio de Hilbert y

Ω

$\Omega$ mapas al conmutador. Parte del proceso de cuantificar una teoría es encontrar una representación.

prahar

@ user1620696 - El teorema de Stone-von Neumann dice que para los sistemas de dimensión finita, todas las representaciones son unitariamente equivalentes, por lo que solo necesita encontrar una. Este teorema no se traslada a la teoría cuántica de campos, por lo que, de hecho, existen formas unitariamente no equivalentes de cuantificar una teoría clásica.

prahar

@user1620696 - En el SHO, comenzamos por encontrar funciones de creación y aniquilación

a (p, q)

$a(p,q)$ y

a (p, q)^{*}

$a(p,q)^*$ que satisfacen

{a (p, q), a (p, q)^{*}} = - i

$\{ a(p,q) , a(p,q)^* \} = - i$ . Entonces, cuantificar la teoría requiere encontrar un espacio de Hilbert en el que

a (p, q)

$a(p,q)$ y

a (p, q)^{*}

$a(p,q)^*$ se representan como operadores lineales

a

$a$ y

a^{†}

$a^\dagger$ que satisfacen

[a, a^{†}] = 1

$[a,a^\dagger]=1$ . Esto se hace construyendo el espacio de Hilbert como un espacio de Fock con el que sin duda estamos familiarizados. El resto de los operadores se determinan tomando las funciones correspondientes escritas en términos de

a

$a$ y

a^{*}

$a^*$ y luego el pedido normal.

prahar

@ user1620696 - Se lleva a cabo exactamente el mismo procedimiento QFT, excepto que ahora uno tiene un número infinito de operadores de creación y aniquilación,

a_{p}

$a_p$ . Por supuesto, dado que el teorema de Stone-von Neumann ya no se aplica, esta no es la única forma de cuantificar la teoría y existen otras formas no equivalentes de hacerlo, por ejemplo, cuantificar mediante el uso de estados propios de momento angular. Sin embargo, en casi todos los experimentos que realizamos, los estados se toman como estados propios de momento, por lo que esta es la cuantización con la que trabajamos.

Keith McClary

Pregunta similar en math.SE . Las preguntas que está haciendo son con las que von Neumann, Wightman y muchos otros lucharon durante décadas. Una explicación "un poco más rigurosa" que los libros de texto introductorios en necesariamente agitar la mano.

Conde Iblis

No hay problemas si trabajas con una teoría finita desde el principio como lo hace 't Hooft.

Respuestas (1)

¿Cómo llenar los vacíos en esta construcción QFT?

Prueba este libro , es el análogo QFT de la obra maestra de Dirac "El principio de la mecánica cuántica".
¿Recuerdas cómo se cuantifica el oscilador armónico simple?
Sí, @Prahar, sin embargo, no puedo ver una conexión precisa. Mi punto es: al cuantificar el SHO en QM, asumimos que tenemos un espacio de estado $\mathcal{E}$ con operadores $X,P$ satisfactorio $[X,P]=i\hbar$ junto con una representación $X|x\rangle=x|x\rangle$ calle. podemos representar kets $|\psi\rangle$ por funciones $\psi(x)=\langle x |\psi\rangle$ . Estas estructuras se suponen dadas (creo que esto puede parecer un uso implícito del teorema de Stone-von Neumann). Entonces en términos de estos definimos $a$ y $a^\dagger$ factorizar $H$ .
Luego demostramos muchas propiedades de estos operadores que permiten encontrar los valores propios y los estados propios de $H$ . Pero solo podemos hacer esto porque hemos definido $a$ y $a^\dagger$ en un espacio que se supone dado en términos de operadores que ya tenemos. En otras palabras, hay un punto de partida claro de donde todo se deriva y ese es $\mathcal{E}$ , los operadores $X,P$ y la representación $|x\rangle$ . No puedo ver esta estructura clara al cuantificar el campo escalar libre.
Si no te gusta agitar las manos, lee los libros de Weinberg;)
@ user1620696 - La idea de cuantificar una teoría clásica es la siguiente. Dado un espacio de fase clásico $M$ con funciones $f(p,q)$ (todos los cuales corresponden a observables) y una forma simpléctica $\Omega$ en $M$ , la cuantificación es el proceso de encontrar una representación lineal del espacio de fase clásico en un espacio cuántico de Hilbert. Cada función se asigna a un operador lineal que actúa sobre el espacio de Hilbert y $\Omega$ mapas al conmutador. Parte del proceso de cuantificar una teoría es encontrar una representación.
@ user1620696 - El teorema de Stone-von Neumann dice que para los sistemas de dimensión finita, todas las representaciones son unitariamente equivalentes, por lo que solo necesita encontrar una. Este teorema no se traslada a la teoría cuántica de campos, por lo que, de hecho, existen formas unitariamente no equivalentes de cuantificar una teoría clásica.
@user1620696 - En el SHO, comenzamos por encontrar funciones de creación y aniquilación $a(p,q)$ y $a(p,q)^*$ que satisfacen $\{ a(p,q) , a(p,q)^* \} = - i$ . Entonces, cuantificar la teoría requiere encontrar un espacio de Hilbert en el que $a(p,q)$ y $a(p,q)^*$ se representan como operadores lineales $a$ y $a^\dagger$ que satisfacen $[a,a^\dagger]=1$ . Esto se hace construyendo el espacio de Hilbert como un espacio de Fock con el que sin duda estamos familiarizados. El resto de los operadores se determinan tomando las funciones correspondientes escritas en términos de $a$ y $a^*$ y luego el pedido normal.
@ user1620696 - Se lleva a cabo exactamente el mismo procedimiento QFT, excepto que ahora uno tiene un número infinito de operadores de creación y aniquilación, $a_p$ . Por supuesto, dado que el teorema de Stone-von Neumann ya no se aplica, esta no es la única forma de cuantificar la teoría y existen otras formas no equivalentes de hacerlo, por ejemplo, cuantificar mediante el uso de estados propios de momento angular. Sin embargo, en casi todos los experimentos que realizamos, los estados se toman como estados propios de momento, por lo que esta es la cuantización con la que trabajamos.
Pregunta similar en math.SE . Las preguntas que está haciendo son con las que von Neumann, Wightman y muchos otros lucharon durante décadas. Una explicación "un poco más rigurosa" que los libros de texto introductorios en necesariamente agitar la mano.
No hay problemas si trabajas con una teoría finita desde el principio como lo hace 't Hooft.

Abdelmalek Abdesselam · Answer 1

Está solicitando una construcción precisa, es decir, matemáticamente rigurosa, de QFT escalar libre y, sin embargo, parece que solo ha leído referencias de físicos en lugar de físicos matemáticos que han resuelto esto hace mucho tiempo. La referencia de 't Hooft sugerida en los comentarios no te ayudará mucho en este sentido. Puede encontrar un tratamiento preciso de la cuatización canónica del campo de bosones escalares libres en, por ejemplo:

Volumen 2 de "Methods of Modern Mathematical Physics" de Reed y Simon, véase en particular la Sección X.7 (edición de 1975).
El libro "Quantum Physics, A funcional Integral Point of View" de Glimm y Jaffe, ver en particular el Capítulo 6 (edición de 1987).
"Mecánica cuántica y teoría cuántica de campos, un manual básico matemático" de Dimock, consulte en particular la Sección 5.4 y el Capítulo 8 (2011).

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Oro

Conde Iblis

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Oro

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Pedro Kravchuk

prahar

prahar

prahar

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Keith McClary

Conde Iblis

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Abdelmalek Abdesselam

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