Ecuación de población logística y modelo exponencial

Todo está "bien" siempre y cuando describa lo que observas. Plantear ecuaciones diferenciales ordinarias no es un ejercicio de reproducción de vitrinas académicas, sino que sirve para predecir el futuro a partir del estado actual.

En su caso, la ecuación diferencial lineal (crecimiento exponencial) es una aproximación de la ecuación diferencial no lineal (crecimiento logístico) para el caso$P \to 0$. El primero es más fácil de resolver (y probablemente sea lo suficientemente preciso en el caso de sistemas de alta capacidad), mientras que el segundo es más preciso (con respecto a los sistemas biológicos, posiblemente), pero también más difícil de resolver.

Cuando$P$es pequeño el crecimiento se puede aproximar con crecimiento exponencial. El crecimiento exponencial significa que después de un tiempo$P$ya no es pequeño y necesita la ecuación logística completa para modelar con precisión el crecimiento.

En este ejemplo se ven los dos casos comparados. En ambos casos$P(0)=0.1$y$r=1$, y el crecimiento logístico ha$K=5$. Al principio se emparejan muy bien, pero a medida que$P$se hace más grande las curvas divergen.

La afirmación es simplemente que el caso límite$K \gg P$la ecuación logística no lineal se puede aproximar mediante una ecuación lineal. Mientras permanezca en el dominio donde$K \gg P$los resultados dados por las dos ecuaciones concuerdan.

Una vez que rompa esta suposición, la aproximación con la ecuación lineal ya no se mantendrá, y los resultados dados por las dos ecuaciones ya no coincidirán. La ecuación logística es, por supuesto, más realista para una gran población, ya que los recursos serán finitos, por lo que en algún momento la población no podrá crecer más.

Esto es similar a cómo puede aproximar cualquier función analítica con una función lineal alrededor de algún punto. Es válido, siempre que las suposiciones sean válidas, pero la aproximación no muestra la imagen completa.