¿Por qué los parámetros libres son malos para una teoría?

Un parámetro es un número que no "sale" de la teoría, pero que debe ingresarse manualmente en la teoría. La masa del electrón es un buen ejemplo: nadie puede (actualmente) calcular la masa del electrón, es simplemente algo que medimos.

No existen reglas absolutas sobre cosas como "cuántos parámetros son demasiados parámetros", aunque, por supuesto, muchas personas tienen opiniones diferentes. Desde el punto de vista de la física fundamental, normalmente el progreso se realiza mediante síntesis o unificación , que es el desarrollo de una teoría más profunda que explica simultáneamente dos fenómenos que en un principio pensabas que eran diferentes. Por lo general, una síntesis de dos teorías físicas aparentemente diferentes lleva a darse cuenta de que lo que originalmente era un parámetro libre en una de las teorías, en realidad puede calcularse en la teoría unificada.

Hay algunos ejemplos muy famosos de esto en la física de pregrado. Aquí hay algunos ejemplos (es cierto que el último no es realmente un ejemplo de nivel de pregrado)

1. La aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra ,$g$, se puede calcular a partir de la masa$M_\oplus$y radio$R_\oplus$de la Tierra y la constante gravitacional de Newton,$g = G\frac{M_\oplus}{R_\oplus^2}$. En la época de Galileo, no se sabía que la gravedad en la Tierra estuviera relacionada con cantidades astronómicas como la masa y el radio de la Tierra, pero Newton demostró que la gravedad es una fuerza subyacente a las manzanas que caen de los árboles y las lunas que orbitan alrededor de los planetas.

2. la velocidad de la luz $c$se puede calcular a partir de las constantes de acoplamiento de campo eléctrico y magnético, que en unidades SI son$\epsilon_0$y$\mu_0$. En unidades del SI tenemos$c^2 = (\mu_0 \epsilon_0)^{-1}$. Esto se deriva de la comprensión de Maxwell de que la luz, la electricidad y el magnetismo, tres temas aparentemente diferentes, son en realidad una teoría unificada del electromagnetismo.

3. la constante de los gases$R$está relacionado con el número de Avogadro$N_A$y la constante de Boltzmann$k$,$R = k N_A$. Darse cuenta de la estructura atómica de la materia explicó muchos fenómenos en termodinámica al reducirlos al movimiento estadístico de átomos individuales.

4. La longitud de onda máxima de la luz emitida por un cuerpo negro a temperatura$T$, era conocido en la década de 1800 por la ley de desplazamiento de Wien ,$\lambda_{\rm peak} = b/T$. El constante$b$se conoce como constante de desplazamiento de Wien. Con el desarrollo de la mecánica cuántica y la distribución de Planck, se demostró que$b=h c / x k$, dónde$h$es la constante de Planck,$c$es la velocidad de la luz,$k$es la constante de Boltzmann, y$x$es un factor de orden 1 calculable que sale de un álgebra molesta ($x=4.965...$resuelve$(x-5)e^x+5=0$).

5. Si bien esto no es tan "básico" como los otros, la unificación de las fuerzas eléctricas y débiles mostró que la constante de Fermi$G_F$controlar la vida útil del muón está estrechamente relacionado con el valor esperado del vacío de Higgs$v$, a través de$v = (\sqrt{2} G_F)^{-1/2}$(y por tanto también a la masa y acoplamiento del bosón W).

Tenga en cuenta que estos ejemplos de unificación que conducen a una comprensión más profunda de un parámetro de entrada están correlacionados con los principales avances en física: gravedad, electromagnetismo, mecánica estadística, mecánica cuántica y la teoría electrodébil.

Existe la creencia en la física teórica de que el modelo estándar no es una teoría fundamental (de hecho, sabemos que no puede serlo porque no contiene gravedad ni materia oscura). Al extrapolar la lógica de unificación que siempre se ha asociado con el progreso en la física, uno espera que al menos algunos de los números que actualmente son parámetros de entrada para el modelo estándar, en realidad se demuestre que son salidas calculables usando una teoría más profunda.

1. Sí, un parámetro libre es un parámetro que no está fijado por la teoría y tiene que medirse en un experimento. Ejemplos son la masa del electrón o su carga. No, no todas las constantes de la naturaleza son parámetros libres, en estos casos podemos encontrar expresiones para representar la cantidad por una serie de parámetros verdaderamente libres. Un ejemplo sería el$g$factor. QFT lo predice con mucha precisión únicamente en términos de los parámetros libres de SM.

2. Tienes que entender que en el centro mismo de cada teoría estamos tratando de conectar algunas cantidades medidas a alguna predicción. Por ejemplo, queremos calcular la sección transversal de$e^- e^+ \longrightarrow \mu^- \mu^+$y lo hacemos usando$e, m_e$y$m_\mu$. Una teoría menos predictiva que la QED (como la QM clásica) no sería capaz de hacer esta predicción y necesitaría convertir la sección transversal en un nuevo parámetro libre. Entonces, cuanto más predictiva y, por lo tanto, útil es una teoría, más parámetros libres están conectados a los observables. Por lo tanto, sería genial no tener parámetros libres y tener una cantidad ilimitada de observables. Esta sería la teoría definitiva, pero si existe es un asunto completamente diferente (pero no lo creo).

Teoría: Es cierto que los parámetros libres son malos para una teoría. Para un cierto valor de verdadero.

Una teoría útil no codifica simplemente todas las observaciones existentes. Predice otros nuevos. Con suficientes variables libres, la teoría no está prediciendo. Se convierte en un registro de lo que hemos visto, presentado de una manera diferente.

Es difícil encontrar un significado más profundo si la teoría es solo un espejo de la casa de la risa infinitamente distorsionable sostenido por lo que ya sabemos.

Creo que "parámetro libre" y "parámetro ajustable" y "parámetro" son esencialmente sinónimos. llamaría al$g$factor (mencionado en la respuesta anterior) una predicción del modelo estándar, no un parámetro. Podría ser un parámetro libre/ajustable de otro modelo.

Los valores de los parámetros pueden ser aleatorios y sin sentido, pero no sabemos que lo son, y mientras no lo sepamos, existe una motivación para seguir buscando explicaciones. Si un físico dice que los parámetros libres son malos, quiere decir que es malo, en cierto sentido, que aún no sabemos todo. Pero en otro sentido es bueno, porque les da algo que hacer.

La teoría/modelo es esencialmente un marco matemático que predice los datos observados en un experimento en función de un conjunto de parámetros. Algunos parámetros son específicos del experimento, otros se consideran conocidos y otros pueden tener que ajustarse a los resultados del experimento (o para que coincidan mejor con los datos). Son estos últimos los que llamamos parámetros libres .

Tener muchos parámetros no es necesariamente malo: la cuestión es el sobreajuste (tener demasiados parámetros y "ruido" de ajuste) frente al ajuste insuficiente (tener muy pocos y perder física importante). Existen procedimientos estadísticos estándar para validar y comparar modelos, como se explica en esta respuesta .

En resumen: supongamos que para un fenómeno, hay$n$cantidades que lo describen completamente. Tu modelo toma$a$número de parámetros libres como entradas (estos deben medirse y conectarse a la teoría) y salidas$b$número de cantidades como predicciones tales que

Como resultado, cuanto mayor sea$a$es, cuanto menos$b$se vuelve, por lo tanto, menos predictiva se vuelve la teoría.

Una teoría ideal puede explicar perfectamente todos los datos observados, y no podría explicar nada que no haya sido observado.

Por ejemplo la teoría

[Teoría] : "las cosas simplemente suceden, excepto cuando no es así"

se puede usar para explicar cualquier observación experimental (P: "¿Por qué se movió el electrón cuando marqué el voltaje?" R: "Las cosas simplemente suceden, excepto cuando no suceden", P: "¿Por qué..." R: " Lo mismo".) Pero esta es una mala teoría, porque igualmente podría explicar las cosas que no sucedieron . (P: "¿Por qué se materializó un dragón cuando marqué el voltaje?" A: "lo mismo", P: "... ¡Pero estaba bromeando sobre el dragón!")

Los parámetros libres son un problema, porque siempre te dan más poder para torcer la teoría para que coincida con las cosas, ya sea que esas cosas se hayan observado o no. Una teoría con demasiados parámetros de este tipo comienza a acercarse cada vez más a la teoría de que "las cosas simplemente suceden". Por supuesto, una teoría con muy pocos parámetros podría fallar al explicar algo de la física real. Si se agrega un nuevo parámetro, lo ideal sería sopesar cuánto gana la teoría en su capacidad para explicar lo real (que queremos maximizar) frente a qué tan capaz se vuelve para explicar lo ficticio (que queremos minimizar).