¿Cómo pueden ser únicas las soluciones de las ecuaciones de movimiento si parece que se puede llegar al mismo estado a través de diferentes historias?

Carece de un conocimiento completo del sistema sobre el que está preguntando.

Solo conoces el frasco. Y si el sistema completo es el jar, entonces sí, siempre ha estado vacío porque no hay nada con lo que interactuar.

Pero si supone que hay cosas que pueden haber estado en el frasco, ahora se agregan al sistema. Ese charco de agua en el suelo, ¿estaba dentro de la jarra? Ahora, conocer solo el estado del frasco significa que su conocimiento es incompleto. Ahora necesitamos incluir el estado del charco de agua. También el suelo sobre el que se sienta y el aire de la habitación.

Aquí hay un ejemplo más simple. Imagina una caja inamovible en el espacio. Un frasco flota en el centro. También hay pelotas que rebotan en la caja. El frasco está estacionario en relación con la caja. ¿Siempre ha sido así? No podemos decirlo simplemente conociendo el estado del frasco. Para responder eso, necesitaríamos saber el estado del frasco y cualquier cosa con la que pueda haber interactuado: las pelotas que rebotan y las paredes. Una vez que conocemos el estado completo de todo lo que hay en el sistema, la caja, las bolas, la jarra y cómo chocan, podemos conocer la historia de la jarra.

Como habrás notado, para resolver la ecuación diferencial que describe el sistema necesitas condiciones iniciales. La condición "tarro está vacío" no tiene una solución única sin especificar las condiciones.

La pregunta es: ¿qué tan precisas son sus ecuaciones diferenciales? Las ecuaciones diferenciales precisas también deben describir el estado del agua después de que salió del recipiente, y tales ecuaciones pueden ser reversibles. Entonces, además del contenedor vacío, tendrías agua que cae.

Esto no es diferente a decir "Encontré una roca en el suelo. Tal vez se cayó, tal vez se detuvo rodando". ¿Implica eso una falta de unicidad en las ecuaciones de movimiento?

La respuesta es no. Matemáticamente, obtienes unicidad en (algunas) ecuaciones diferenciales cuando se fijan ciertas condiciones iniciales. En el caso de las ecuaciones de movimiento, sería la posición inicial y la velocidad inicial.

Se necesita un ligero ajuste. No necesitas condiciones iniciales, necesitas condiciones de contorno. Para los sistemas conservadores, tener una instantánea en el tiempo es suficiente, pero tiene un sistema que está perdiendo masa intencionalmente. A medida que dejas que esta masa abandone el sistema, se lleva consigo la información que necesitabas.

Si dispusiera de las condiciones de contorno, incluida toda la información sobre el agua que sale a lo largo del tiempo, podría reunir el historial que busca.

Por supuesto, incluso en este caso, vale la pena considerar casos de esquina divertidos como Norton's Dome . La discusión sobre la validez de este modelo está matizada, hasta el día de hoy.

Escogiendo un ejemplo aleatorio (pero completamente representativo de aquellos que afirman la unicidad) de un teorema relevante, ¿qué parte del teorema de Picard-Lindelhöf promete que puede extender la solución desde la condición inicial a todo el "pasado presente y futuro"? Ciertamente, puede extenderse a un intervalo abierto de tiempos que contenga el tiempo de la condición inicial, pero ese intervalo puede ser sorprendentemente corto y es posible que no tenga forma de extenderlo más. (Es bastante probable que esto suceda en discontinuidades (de varios órdenes) inducidas por restricciones adicionales, por ejemplo, el límite superior de la capacidad de la lata o la restricción de no negatividad de la cantidad de agua en la lata).

La ecuación diferencial, cuando se usa como modelo físico, depende de un cierto conjunto de suposiciones. Por ejemplo, cuando usamos la ecuación diferencial

para describir la altura de una pelota lanzada, podemos establecer una altura inicial$h_0$, pero la proyección en el pasado haría que la pelota viniera desde infinitamente más abajo ($h = -\infty$en$t = -\infty$), que no tiene sentido en la vida real. ¡Claramente, la pelota no surgió de debajo del suelo, pasando a través de la materia, sino que fue proyectada desde tu mano! El problema es que la ecuación tiene una suposición: a saber, que la única fuerza que actúa es la gravedad, y cuando proyectas hacia atrás, estás proyectando esta suposición hacia atrás. Pero en una realidad probable, en el pasado, cuando te estabas preparando para lanzar esa pelota, había otras fuerzas, a saber, de tus manos, bolsillos, etc., actuando sobre ella, y no están incluidas en la ecuación.

La ecuación diferencial da tanto un futuro único como una historia pasada única, pero esa historia, en ambas direcciones, solo corresponde a la realidad siempre y cuando las suposiciones de la ecuación sean verdaderas , y lo mismo también vale para el futuro, por ejemplo, si llega un pájaro y lo golpea mientras está en vuelo, entonces esta ecuación tampoco se mantendrá.

En su caso, no puede escribir una ecuación diferencial que sea válida en todos los tiempos pasados ​​sin saber qué supuestos se necesitan para modelar correctamente el comportamiento pasado, es decir, sin alguna idea de cuáles fueron las influencias pasadas. Si las condiciones siempre han sido nada ha interactuado con el vaso, entonces la ecuación diferencial dará ese resultado. Si esa suposición es incorrecta, entonces, por supuesto, no funcionará. La falta de unicidad surge de la variación efectiva en la ecuación misma, más que en cualquier ecuación individual que no pueda prescribir una historia pasada única. Se podría decir que en el pasado, la ecuación diferencial era diferente. Si se le permite hacer eso, entonces, por supuesto, varias historias pasadas pueden terminar con el mismo punto de partida: ¡el teorema que no tienen depende del uso de la misma ecuación para retroceder!

Cuando intentas resolver ecuaciones diferenciales en el tiempo, generalmente te encuentras con el problema de las soluciones inestables. Al dejar caer una piedra, sin importar por dónde empieces, la solución converge a “yace inmóvil en el suelo”. Si calculas al revés, la solución diverge. Hay muchas velocidades diferentes que la piedra podría haber tenido hace diez segundos si ahora está quieta.

"El frasco está vacío en este momento" solo te dice$f(0)$. También necesitas$f'(0)$,$f''(0)$, etc.

Una EDO para alguna situación física es solo un modelo matemático de la realidad. Dichos modelos siempre tienen limitaciones y casi siempre solo se cumplen en un sentido probabilístico .

Tomemos un ejemplo muy simple y supongamos que el contenedor está lleno de átomos de algún material radiactivo que se desintegra con una vida media.$T$. La EDO que describe el número esperado de átomos en el frasco es$N'(t) = -\frac{N(t)}{T}$con solucion$N(t) = N(0)e^{-t/T}$que se determina de forma única especificando$N(0)$. Si esperamos mucho tiempo, eventualmente$N(t) \ll 1$por lo que no esperamos encontrar átomos radiactivos en el frasco. Así que incluso si comenzamos con$N(0) = 1000$o$N(0) = 2000$átomos, en ambos casos terminaremos con un frasco vacío para grandes$t$.

Esto no contradice la unicidad de la solución a la ODE respectiva ya que la ODE describe el número esperado (una cantidad probabilística) no el número real de átomos. La solución a las EDO tendrá un valor distinto de cero para cualquier momento.$t$incluso si el frasco está vacío (pero no podemos acceder a este valor con nuestra única observación del sistema).

Para resumir de manera útil algunas respuestas aquí y dar mis propios pensamientos (aunque hay muchas respuestas en este momento): Básicamente, su sistema no es solo el contenedor. Veamos algunos pasos de lo que sucede.

• Tienes tu cántaro de agua.
• Le haces un agujero.
• El agua se escapa de la jarra.
• El aire se aparta cuando el agua cae al suelo. El aire también llena el frasco.
• El piso absorbe la energía del agua cuando golpea el suelo.
• El agua es ahora un charco en el suelo.
• Probablemente también sucedan otras cosas

Ahora te vas y alguien más entra y ve un charco de agua en el piso. Si esta persona fue capaz de tomar en cuenta todo lo que pasó, entonces podría discernir que el agua comenzó en el cántaro y no vino de otro lugar (una gotera en el techo, por ejemplo). Si esta persona pudiera ver las trayectorias de todas las moléculas de agua, las moléculas de aire, las moléculas del suelo, las moléculas de la jarra, etc. y supiera cómo evolucionó cada una de ellas, entonces podría "reproducir" todo en el tiempo y ver que la de hecho, el agua comenzó en la jarra.

Por supuesto que esto es imposible. No tenemos las capacidades para hacer esto. Debemos trabajar con conocimientos limitados y ecuaciones limitadas. Entonces, si solo estamos tratando con una ecuación de tasa simple que describe qué tan rápido sale el agua del frasco y nada más, entonces, de hecho, hay múltiples escenarios que conducen a un frasco vacío (por ejemplo, podríamos haber comenzado con diferentes volúmenes de agua) .

Esto no es un problema físico. Este es un problema en nuestro conocimiento del sistema y las ecuaciones que gobiernan este sistema. Como se indicó anteriormente, con un conocimiento perfecto del sistema en algún momento sabríamos exactamente cómo salió el agua de la jarra y no habría múltiples "soluciones". Al elegir un modelo para un sistema, debemos tener esto en cuenta. ¿Están justificadas las simplificaciones que hemos hecho para las preguntas que le hacemos al modelo? Si solo queremos saber sobre el agua que sale de una jarra, entonces un modelo simple es genial. Sin embargo, si queremos saber de dónde ha salido el agua cada vez que vemos un charco debajo de una jarra con un agujero, mejor pensemos en otro modelo.

Todo el mundo sigue diciendo todas estas cosas, pero en realidad el tema aquí es mucho más sucinto y creo que tiene mucho más que ver con la ciencia misma. El propósito de la ciencia es construir modelos que intenten predecir el comportamiento futuro con base en el comportamiento observado previamente. Entonces, si bien la ecuación diferencial podría predecir el movimiento pasado, el problema aquí es que el universo y su modelo son necesariamente reversibles. Nadie ha probado ni afirmado afaik que cualquier estado dado del universo tenga un estado previo único. De hecho, diría que no existe tal estado. Por lo tanto, si bien su cubo es una analogía, diría que muestra que hay un comportamiento futuro único y NO un comportamiento pasado único. Por supuesto, también está el problema de que no estás modelando todo a la perfección.

Entonces parece que es un absurdo afirmar que la solución de la ecuación diferencial es única. ¿Dónde estoy equivocado?

Parece que estás tomando que el hecho de que una ecuación tiene una solución única implica que esa ecuación es la única con esa solución.

Un ejemplo aún más simple:

la solucion de$x=1+2$es único - sólo hay un valor de$x$que satisface la ecuación, y ese valor es$3$.

la solucion de$x=4-1$también es único, y también tiene una solución única donde el valor de$x$es$3$.

Dado sólo el enunciado de que el valor de$x$es$3$, no sabes de qué ecuación era una solución.

El hecho de que una ecuación tenga una solución única no implica que esa ecuación en particular sea la única que dé esa solución; habrá infinitas ecuaciones de este tipo para las que el mismo estado sea su única solución.

Ahora imagina que tienes un frasco y hay una gota de agua que se mueve verticalmente detrás del agujero. ¿Puedes resolver este si tienes las coordenadas y la velocidad de la gota? Sí tu puedes. La única diferencia es que el estado inicial de la jarra no es suficiente para resolver el sistema (jarra, agua), necesita la información sobre el agua.