¿Qué significa que una ley sea fundamental?

En términos generales, una ley es más fundamental que otra si la explica. (No hay garantía de que ninguna ley sea "fundamental", en el sentido de que no haya nada más fundamental; tal vez todas las leyes tengan una explicación más profunda, pero en un momento dado nuestro conocimiento es finito).

La suposición más obvia de lo que significa para$A$para explicar$B$es eso$B$es deducible de$A$, pero si la deducción funciona en ambos sentidos, esto no revela cuál es más fundamental, cuál es el punto en el que has tocado. (Si quiere ser técnico, en la filosofía de la ciencia, la definición simple de explicación que acabo de criticar es el modelo deductivo-nomológico ). De hecho, podemos obtener la ley de Coulomb como un caso especial de la ley de Gauss, o la ley de Gauss a partir de la ley de Coulomb. ley por linealidad.

Las afirmaciones más fundamentales proporcionan una visión más profunda. La ley de Gauss es más fundamental en el sentido de que a partir de las ecuaciones de Maxwell obtenemos una descripción de cálculo vectorial de los campos electromagnéticos que funciona para distribuciones de carga arbitrarias. Es en este punto que los campos$\vec{E},\,\vec{B}$relacionarse en una teoría que los unifica. La unificación suele ser un signo de una comprensión más profunda de la física, mientras que la ley de Coulomb habla solo de$\vec{E}$.

De las ecuaciones de Maxwell surgen ecuaciones de onda invariantes de Lorentz que finalmente inspiraron la relatividad especial. Si reescribimos$\vec{E},\,\vec{B}$en términos de$\vec{A},\,\phi$(que se unen en$A^\mu$relativistamente), reducimos la ley de Gauss a$\nabla^2\phi=-\frac{\rho}{\epsilon_0}$. Pero un formalismo manifiestamente relativista proporciona una comprensión aún más profunda del electromagnetismo, mucho más allá de cualquier cosa imaginada por Coulomb.

En este punto sólo nos preguntamos dónde$A^\mu$viene de. La electrodinámica escalar explica esto en términos de simetrías locales de un campo escalar; esto proporciona una exposición aún más fundamental. (Podríamos ir más lejos, pero entiendes mi punto).

La ley de Gauss es más fundamental en algunos aspectos:

Es aplicable en más situaciones:

Una versión de la Ley de Gauss que involucra el potencial vectorial sigue siendo válida en la teoría cuántica de campos, independientemente de la elección del calibre, mientras que la Ley de Coulomb solo surge después de elegir el calibre de Coulomb.$\nabla\cdot\vec{A}=0$.

Requiere menos suposiciones físicas:

La Ley de Gauss es esencialmente solo el teorema de la divergencia, que no requiere suposiciones físicas, ya que es una declaración matemática basada en la estructura de$\mathbb{R}^3$. La Ley de Gauss define entonces la carga como la divergencia del campo eléctrico*, escalada por una constante arbitraria. Mientras tanto, la Ley de Coulomb esencialmente comienza asumiendo un potencial de interacción, que es una suposición física, y define la carga en función de esta suposición física. Los dos se pueden poner en pie de igualdad si asume que ni la carga ni el campo eléctrico se mueven, pero esto también es una suposición física.

Tiene un significado más amplio en general:

La Ley de Coulomb es un enunciado sobre las fuerzas y/o campos eléctricos generados en presencia de carga. La Ley de Gauss, por el contrario, es una declaración sobre el comportamiento del campo eléctrico en general, independientemente de si hay carga presente o no. Como tal, la Ley de Gauss todavía da declaraciones útiles en el contexto de la radiación electromagnética en el vacío, mientras que la Ley de Coulomb da solo una respuesta vacía.

*Aquí asumimos la existencia del campo eléctrico. Esto no es problemático ya que incluso QFT lo trata como fundamental.

En términos generales, se puede considerar que una validez más general es más fundamental.

En el caso de la comparación entre la ley de Gauss y la ley de Coulomb, ambas son exactamente equivalentes en los casos estáticos pero la ley de Gauss también es una ley válida en una situación genérica. Por lo tanto, la ley de Gauss puede considerarse más fundamental que la ley de Coulomb.

En otras palabras, la ley de Coulomb,

es una expresión válida para el campo eléctrico en un punto$\vec{r}$debido a una distribución de carga$\rho(\vec{r'})$sólo en una situación estática.

Pero, la ley de Gauss,

es una de las ecuaciones generales de Maxwell y siempre es válida, tanto en el caso estático como en el dinámico.

En el caso estático,$(2)$implica$(1)$(y viceversa) y por lo tanto, son equivalentes. Pero, en el caso general,$(1)$no se sostiene mientras el$(2)$hace - haciendo$(2)$más fundamentales que$(1)$. Entonces, como dije, en un sentido aproximado, llamamos a algo una característica más fundamental de las leyes de la física si la característica sobrevive a más generalizaciones.