Adivinando lo que una simple ecuación diferencial parcial describe físicamente

Intentemos reescribir la ecuación en forma aproximada de diferencias finitas :

$$\frac{A(x,t+\Delta t)-A(x,t)}{\Delta t} = C_3\frac{A(x+h,t)+A(x-h,t)-2A(x,t)}{h^2} +$$ $$+ C_2 \frac{v(x+h,t)A(x+h,t)-v(x-h,t)A(x-h,t)}{2h} + C_1 A(x,t)+C_0$$ Dónde $\Delta t$-- es un paso de tiempo, y $h$-- paso espacial.
La expresión se convierte en tu PDE, en el límite $\Delta t\to0, h\to0$.

El lado izquierdo describe cuánto la cantidad$A$cambia durante un paso de tiempo en un punto dado (espero que sea obvio). Veamos qué hay en el lado derecho término por término:

• $C_3$: Si$A$es mayor en total en los puntos "vecinos" que en el punto mismo:$A(x+h,t)+A(x-h,t)>2A(x,t)$entonces$A$aumentará en$x$. De lo contrario, disminuirá. Así que el término "fuerzas"$A$a algún tipo de equilibrio local.
  Este es un término estándar para la descripción de varios procesos de difusión o distribución de calor que obligan a su sistema a alcanzar cierto equilibrio.
• $C_2$: Aquí hay que tener cuidado con las señales. llamemos$x+h$"el punto a la derecha" y$x-h$será "el punto a la izquierda". Si$v>0$entonces "fluye hacia la derecha" y si$v<0$"fluye hacia la izquierda". Ahora compruebas que si tu flujo entra en tu punto$x$(digamos, fluye hacia la derecha desde el punto hacia la izquierda) luego aumenta$A$en$x$. Y disminuye si los flujos se alejan de su punto.
  Ese es un término estándar que describe cosas llevadas con la corriente.$v$y generalmente derivado en términos de derivado sustancial
• $C_1$y$C_0$: Estos dos son triviales, porque son locales.$C_0$solo da una contribución constante al crecimiento de$A$, y$C_1$cambia (inhibe en su caso) la tasa de crecimiento proporcional al valor de$A$.
  También puede entenderlos en términos de EDO local para un punto dado:$\dot{a} = C_1a+C_0$

Para resumir: digamos que$A(x,t)$describe la densidad de, digamos, bacterias en un tubo. Entonces$C_3$describe cómo se difunden,$C_2$describe cómo son llevados por una corriente$v(x,t)$de líquido en el tubo,$C_0$-- es una tasa de crecimiento de nuevas bacterias y, finalmente,$C_1$-- es responsable de que el crecimiento se ralentice debido a la sobrepoblación.

Como alternativa a la interpretación del calor de Christian Blatter,$A$podría describir la concentración de partículas adsorbidas en una superficie de sustrato unidimensional (o bidimensional, donde ignoramos una de las dimensiones).

• Las partículas nuevas se adsorben a una velocidad$C_0$por unidad de longitud.
• Las partículas adsorbidas se separan de la superficie a una velocidad$-C_1$por partícula.
• Las partículas se mueven a lo largo de la superficie (o la superficie misma se mueve) con una velocidad neta media$-C_2 v$.
• Mientras se mueven, las partículas también se difunden sobre la superficie con coeficiente de difusión$C_3$.

En cualquier caso, esta ecuación describe la dinámica de alguna cantidad$A$experimentando difusión y advección sobre un espacio unidimensional, mientras que también experimenta acumulación local constante (es decir, de orden cero) y decaimiento de primer orden.

(Como ecólogo matemático, mi primer pensamiento fue interpretarlo como un modelo de población espacial, pero en realidad no se ajusta muy bien a esa interpretación: no hay$A^2$término que podría describir la regulación de la densidad local.)

Tienes un tubo cilíndrico delgado a lo largo del$x$-eje que está lleno de algún gas de densidad$\rho(x,t)$. La temperatura del gas es$A(x,t)$, y el gas se mueve junto con el "flujo de masa"$m(x,t):=\rho(x,t)v(x,t)$, dónde$v$denota la velocidad real de las partículas individuales. (El$\rho$falta en su ecuación). El calor se transporta por conducción de calor y por convección. Además, el$x$-eje es un cable eléctrico que produce calor a un ritmo constante, y en la superficie del tubo tenemos una pérdida de calor hacia el espacio exterior, siendo este último una temperatura$0$.

Su ecuación describe la tasa de cambio temporal de la temperatura en un "elemento de longitud" en$x$en el momento$t$. Los términos individuales del lado derecho representan las contribuciones de conducción, convección, pérdida de superficie al espacio exterior y calentamiento.

Despreciar términos y resolver la ecuación para condiciones iniciales idealizadas es una forma de estudiar lo que significa cada término.

$$∂_tA=C_3∂_x^2A+C_2∂_x(vA)+C_1 A+C_0$$

Por ejemplo, configure todos menos$C_0$a cero y obtener$A = C_0 t + A(x,0)$. El término con$C_0$suministra la cantidad representada por$A$a un ritmo constante. Es un término fuente.

Establecer todo menos$C_1$a cero y obtener$A = A(x,0) e^{C_1 t}$. Este es un tipo de término fuente no lineal:$A$se suministra a un ritmo proporcional a su cantidad en una realimentación positiva.

Establecer todo menos$C_2$a cero y encuentras$A = A(x,0)\delta(x-C_2 vt)$asumiendo$v$es constante Puedes generalizar para$v$dependiente de x. Este es un término de advección que describe el movimiento de$A$a velocidad$C_2 v$.

Establecer todo menos$C_3$a cero y encuentras la clásica ecuación de difusión. Aquí la solución para una condición inicial de fuente puntual es algo así como$A(x,t) = \frac{1}{\sqrt{C_3 t}} e^{-x^2/(C_3 t)}$aunque tengo algunas constantes mal. Esto describe una tendencia a la "extensión" o manchado debido a las características de transporte diferencial entre los componentes de$A$.

Para resumir, tienes difusión con difusividad$C_3$, advección con velocidad$C_2 v$, suministro no lineal a tasa$C_1$, y suministro constante a tasa$C_0$.