Derivación de la ecuación de campo de Cartan

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Derivación de la ecuación de campo de Cartan

usuario110235

Por favor, ayúdenme a entender cómo, en esta introducción al espacio-tiempo y los campos , la ecuación de Einstein Cartan:

C_{[j i]}^{k} - d_{[i}^{k} C_{j] yo}^{yo} = \frac{k}{2} s_{i j}^{k},

$C^k_{\hspace{2mm} [ji]}-\delta_{[i}^{k}C^l_{\hspace{2mm} j]l}=\frac{\kappa}{2}s_{ij}^{\hspace{2mm}k},$ cuando la variación inicial de la ecuación de Field con respecto al tensor de contorsión (

C

$C$ siendo el tensor de contorsión,

s

$s$ siendo el tensor de espín) se deriva para ser

\frac{- 1}{k C} \int (C_{i}^{k j} - C_{yo}^{yo j} d_{i}^{k}) \sqrt{- gramo} d C_{j k}^{i} d Ω + \frac{1}{2 C} \int s_{j}^{i k} \sqrt{- gramo} d C_{i k}^{j} d Ω = 0,

$\frac{-1}{\kappa c}\int (C^{kj}_{\hspace{2mm} i}-C^{lj}_{\hspace{2mm} l}\delta_i^k) \sqrt{-\mathfrak{g}}\delta C^i_{\hspace{2mm}jk}\delta \Omega \hspace{3mm} + \frac{1}{2c}\int s_j^{\hspace{2mm} ik}\sqrt{-\mathfrak{g}}\delta C^j_{\hspace{2mm}ik}\delta\Omega=0,$

lo que lleva directamente a la expresión

C_{i}^{k j} - C_{yo}^{yo j} d_{i}^{k} = \frac{k}{2} s_{i}^{j k} .

$C^{kj}_{\hspace{2mm} i}-C^{lj}_{\hspace{2mm} l}\delta_i^k = \frac{\kappa}{2}s_i^{\hspace{2mm}jk}.$

¿Existe alguna forma de simetrización que pueda reducir esta ecuación a la forma familiar anterior?

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Derivación de la ecuación de campo de Cartan

AccidentalFourierTransformar · Answer 1

Tenga en cuenta que el tensor de espín es asimétrico en sus índices inferiores,

s_{i j}^{k} = - s_{j i}^{k}

$s_{ij}{}^k=-s_{ji}{}^k$

Por lo tanto, tenemos $s_{ij}{}^k=s_{[ij]}{}^k$ . A partir de esto, es fácil ver que

A_{i j}^{k} = s_{i j}^{k} \Leftrightarrow A_{[i j]}^{k} = s_{i j}^{k}

$A_{ij}{}^k=s_{ij}{}^k \quad \Leftrightarrow \quad A_{[ij]}{}^k=s_{ij}{}^k$ según sea necesario.

Impresionante y simple: por qué no pude ver esto :) Gracias

Derivación de la ecuación de campo de Cartan

usuario110235

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AccidentalFourierTransformar

usuario110235

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