Derivación integral de trayectoria de la correspondencia estado-operador en una CFT

Insertar un operador local significa multiplicar el integrando de la integral de trayectoria por un operador con posición fija. De esta forma, solo el valor del operador en esta posición contribuye a la integral de trayectoria. Si ahora supone que el operador es una inserción en la posición$z=0$, que en el presente contexto de cuantización radial corresponde al punto inicial en el tiempo, simplemente juega el papel de un factor de peso. El concepto es comprensible a partir de las fórmulas que escribiste: en la primera, tienes la forma general donde$t_i$se deja arbitrario, y en el segundo se restringe el operador a una determinada posición$t_i=0$, por lo tanto, "localizándolo".

Con respecto a una referencia, puedo recomendarle el capítulo dos de Polchinski: analiza las inserciones tanto en un contexto general como en su aplicación a la cuantización radial y la correspondencia operador/estado.

Lo siguiente pretendía ser un comentario en lugar de una respuesta. Sin embargo, dado que fue un poco largo para un comentario, lo escribo en el cuadro de respuesta.

En el caso de una teoría de campos, los estados se pueden considerar como funciones en el espacio de las condiciones de contorno en una porción espacial. Esto es así porque el espacio de condiciones de contorno en un segmento espacial es el espacio de configuración y (según la definición de cuantización canónica) los estados cuánticos son funciones en el espacio de configuración.

Ahora bien, en el caso de una teoría de campos en el plano complejo con la dirección radial tomada como la dirección del tiempo, los cortes espaciales tienen la forma de círculos. Por lo tanto, los estados cuánticos ahora son funciones en el espacio de condiciones de contorno en un círculo de radio fijo. Podemos elegir cualquier círculo de radio distinto de cero para definir nuestro espacio cuántico.

Si, denotamos por$H$nuestro espacio de estados entonces la integral de trayectoria en un anillo$A$con condiciones de contorno fijas en sus círculos de contorno interior y exterior, define un mapa

$$T_A : H\to H$$

Esta es la declaración de la primera integral en su pregunta. Dado un estado en el círculo límite interior, podemos obtener un estado en el círculo límite exterior haciendo la integral de trayectoria.

Ahora, en lugar de un anillo, considere un disco. En este caso solo tenemos un límite. Si insertamos un funcional local$\mathcal{O}(\phi(0),\partial_{z}\mathcal{O}(0))$en el origen y hacemos una integral de trayectoria en todo el disco, entonces, por supuesto, obtendremos un estado cuántico en$H$(Fijar una condición de contorno y luego hacer la integral de trayectoria nos dará un número. Por lo tanto, la integral de trayectoria dará una función en el espacio de condiciones de contorno en el límite del disco que es, por definición, un estado cuántico). Por lo tanto, la integral de trayectoria en el disco$D$(de, por ejemplo, unidad de radio) con un funcional local insertado en el origen definirá un mapa

$$T_{D}:\{\text{space of local functionals at the origin}\}\to H$$

Esto es válido para cualquier teoría de campo bidimensional. Sin embargo, en el caso de una teoría de campo conforme, la dependencia del mapa anterior con la geometría del disco es mucho más simple que en una teoría sin simetría conforme.

Existe un diccionario que traduce el formalismo de integral de camino al formalismo de operador. Un elemento de matriz de una cadena de operadores locales en orden de tiempo se traduce en una ruta integral con inserciones de campos, por ejemplo

$$\langle \psi_2|\mathcal{T}\mathcal{O}_1[\phi(x_1),x_1]\mathcal{O}_2[\phi(x_2),x_2]|\psi_1\rangle\rightarrow \int_{BC} \mathcal{D}\phi...\mathcal{O}_1[\phi(x_1),x_1]\mathcal{O}_2[\phi(x_2),x_2]e^{iS}$$

con$BC$de pie como una condición de contorno adecuada, y posiblemente pesos en diferentes condiciones de contorno también.$BC$están relacionados con el$|\psi_i\rangle$estados de . Esto funciona$\mathcal{O}_i$debe depender explícitamente de los campos, de lo contrario, son simples números c (se pueden poner fuera de la integral de ruta).

Ahora, cuando tengas:

$$\psi[ \phi_f(x),t_f] = \int d\phi_i \int\limits_{\phi(0) = \phi_i}^{\phi(x,t_f) = \phi_f(x) }\mathcal{D}\phi\, e^S\, \psi(\phi_i , 0)\rightarrow \int\limits_{no\,BC\,here}^{\phi(x,t_f) = \phi_f(x) }\mathcal{D}\phi\, e^S\, \Psi[\phi(0),0]$$

es decir, la integral en$d\phi_i$puede ser absorbida en la medida, lo que significa que no hay condición de contorno en$x=0$más, porque estás sumando todos los valores posibles allí. El peso$\psi(\phi_i , 0)$se puede ver como una función del campo evaluado en$x=0$, un operador local evaluado en$x=0$.

Ahora, puede definir una configuración de estado$\Psi[\phi(0),0]=1$

$$|0\rangle \leftrightarrow \psi_0[ \phi(x),t] =\int^{\phi(x,t) = \phi(x) }\mathcal{D}\phi\, e^S\times 1$$

ahora, para un estado arbitrario tienes:

$$|\psi\rangle \leftrightarrow \psi[ \phi(x),t]=\int^{\phi(x,t) = \phi(x) }\mathcal{D}\phi\, e^S\, \Psi[\phi(0),0] \leftrightarrow \Psi[\phi(0),0]|0\rangle$$

cada estado$|\psi\rangle$se puede crear a partir de un operador local$\Psi[\phi(0),0]$actuando sobre el$|0\rangle$estado:

$$|\psi\rangle=\Psi[\phi(0),0]|0\rangle$$

Consideremos el estado de vacío:

$$\Psi_0[\phi_f]=\int d\phi_i \int_{\phi(0)=\phi_i}^{\phi(x,t_f)=\phi_f} [d\phi(x,t)]\exp\left[\frac{i}{\hbar}\int_0^{t_f} dt' L\right]\,.$$ Ahora consideremos actuar sobre el vacío con un operador local $O(0)$Al origen. Un operador local en este contexto es una función local de los campos $\phi$, así que lo escribiré como $O[\phi(0)]$. El estado resultante es $$\Psi_O[\phi_f]=\int d\phi_i \int_{\phi(0)=\phi_i}^{\phi(x,t_f)=\phi_f} [d\phi(x,t)]\exp\left[\frac{i}{\hbar}\int_0^{t_f} dt' L\right]O[\phi_i]\,.$$ Así que ahora podemos adjuntar a la función de onda que escribiste un operador $O$a través de $O[\phi_i]=\psi(\phi_i,0)$.