cómo simular una barrera de potencial empinada en la ecuación de langevin

Al simular una ecuación de Langevin, ¿cómo se maneja una barrera de potencial vertical?

Tengo la evolución sobreamortiguada en el tiempo de la posición. X , descrito por

γ d X d t = − V ′ ( X ) + η ( t )

dónde V ( X ) es el potencial, γ el arrastre, y η ( t ) el ruido térmico. Cuando quiero simular una trayectoria particular, discretizo el tiempo en pasos de un pequeño finito Δ t , y uso simplemente iteraciones con

X i = X i − 1 − 1 γ V ′ ( X i − 1 ) Δ t + 2 D Δ t η i

dónde D = k B T / γ es el coeficiente de difusión, y η i un número aleatorio

Ahora, imagina V ( X ) tiene una barrera infinitamente alta, cuya pendiente se puede ajustar (y hacer vertical). Me preguntaba: si la partícula por casualidad golpea la barrera, allí el valor de la derivada V ′ puede ser indefinidamente grande. En la simulación, esto significa que X i puede ser seriamente "rechazado" por el término − V ′ ( X i − 1 ) . Parece poco físico.

Supongo que reduciendo el Δ t used ayuda, pero ¿hay una forma estándar de manejar esto? ¿O no se pueden simular demasiadas barreras verticales?

¿Estás usando algo como V ∝ t a norte h ( X ) ? Si no, ese podría ser el camino a seguir porque puede "afinar" su gradiente pero aún evitar que se desvíe. También podría usar las soluciones de onda para perforaciones de onda para aproximar un empinado V ( X ) , pero esos tienen oscilaciones descendentes que quizás no quieras...
@honeste_vivere: No estoy usando t a norte h ( X ) en particular, pero sí, tengo un "sintonizable" V ′ ( X ) que puedo evitar que diverja. Aún así, me pregunto cómo lidiar con el problema de una pendiente demasiado pronunciada.
Si conoce la forma analítica/funcional de V(x), entonces debería poder determinar si la longitud de la escala del gradiente se acerca al tamaño de celda de la cuadrícula de su esquema de resolución numérica, ¿correcto? Si hace esto en Mathematica, ese software tiene varias opciones NDSolveque pueden tratar este problema y evitar resultados divergentes (siempre que sea un susurrador de Mathematica )...
@fpdx "Ahora, imagine que V (x) tiene una barrera infinitamente alta, cuya pendiente se puede ajustar (y hacer vertical)". no es correcto lo que quisiste decir? Creo que quisiste decir "barrera infinitamente empinada", de lo contrario, la respuesta de Tom-Tom debería resolver tu problema.

Respuestas (2)

Una barrera infinita de potencial refleja el hecho de que la partícula no puede entrar en una determinada región del espacio. Resolver la ecuación de Langevin con una barrera de este tipo significa que debe encontrar una manera de establecer que la partícula no puede ingresar al dominio, pero también debe describir lo que sucede en el límite, porque son posibles varios escenarios:

  1. la partícula se detiene cuando alcanza el límite (absorción)

  2. la partícula se refleja en el borde, con velocidad opuesta

  3. la partícula se detiene durante un tiempo de espera τ (determinado o aleatorio) antes de retroceder

  4. la partícula se refleja con un cambio de velocidad d v

  5. la partícula sigue cualquier escenario 1.-4. con ciertas probabilidades

El comportamiento en el límite es extremadamente importante.

Si ejecuta una simulación numérica

  1. es fácil de codificar con una prueba de posición

  2. se puede imitar fácilmente en una dimensión extendiendo el dominio y plegándolo. Por ejemplo, si tiene una barrera en X = 0 , extender el dominio a R y luego sumar las probabilidades de presencia en X y − X . La distribución de velocidades se obtiene por sustracción, por supuesto.

  3. se obtiene sumando el tiempo de espera τ al tiempo de simulación usando el truco del Escenario 2.

  4. también utiliza el truco Escenario 2, la velocidad se modifica al cruzar el límite como en el Escenario 3.

  5. también es bastante fácil de codificar en una simulación numérica utilizando las técnicas anteriores.

¡Espero que sea de ayuda!

Es posible que aquí no haya una respuesta completa, pero puede brindarle a usted (y a mí) algunos consejos y quizás alguna solución alternativa.

  1. El esquema de Euler no debería funcionar, incluso para la ecuación determinista donde el ruido se establece en cero. Esto se debe a que en el esquema de Euler, uno siempre requiere Δ t pequeño para que el Δ X es pequeño. Cuando Δ X es grande, uno se topa con la inestabilidad numérica de la solución. Este problema es bien conocido para las EDO (consulte, por ejemplo, Recetas numéricas, sección sobre "Sistemas rígidos").

  2. Creo que una forma de evitar esto es usar simulación de espacio discretizado. Aquí se divide el espacio en pasos discretos y se simula el proceso de Markov discreto con tasas de transición entre sitios vecinos proporcionales a la diferencia de potencial entre los sitios.

  3. Otra opción es utilizar una simulación subamortiguada. Tenga en cuenta que el problema surge porque su ecuación sobreamortiguada es de primer orden. [No me queda claro que la aproximación sobreamortiguada sea válida para una fuerza tan infinitamente fuerte; aunque la ecuación sobreamortiguada parece estar matemáticamente bien definida.] Para la ecuación subamortiguada, puede simular Δ X suavemente, mientras Δ v salta cada vez que la partícula cruza el paso del potencial.

Gracias. Acerca de su punto 1: en esta respuesta, se dice que el esquema de Euler es el mejor.
Acerca de su punto 3: la simulación trata sobre el movimiento de una partícula de escala micrométrica en el agua (con un potencial externo sintonizable). El sobreamortiguamiento proviene del número de Reynolds de ~1e-5.
Sobre tu punto 2: interesante. ¿Tiene alguna referencia que pueda comprobar?
@fpdx 1. El de Euler es mejor que el de Runge-Kutta y similares (no el mejor). Funciona bien cuando Δ t es pequeño. Supongamos que resuelves X ′ = F ( X ) . Luego actualizas X norte + 1 = X norte + F ( X norte ) Δ t asumiendo que F ( X norte ) Δ t es pequeño. Sin embargo en tu caso F ( X ) Δ t nunca es pequeño, de hecho es infinito. Más peor cuando F ( X ) se concentra en una pequeña región (función delta): en su simulación, nunca tendrá X norte exactamente en la función delta. Por lo tanto, efectivamente, su simulación no ve ningún potencial de paso.
2. No, no lo hago. Se basa más bien en la intuición física; por eso digo que no fue una respuesta completa. Seguro que da la dinámica correcta cuando la partícula está lejos del escalón (porque es simplemente el movimiento browniano) así como la distribución estacionaria (porque satisface el mismo balance detallado). Para la dinámica cerca de la barrera, no sé si es 100% correcta o hay que elegir las tasas de transición más sabiamente que las de Glauber.
cómo simular una barrera de potencial empinada en la ecuación de langevin
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v