Teorema de disipación de fluctuación para velocidades

Question

Teorema de disipación de fluctuación para velocidades

maestro de matemáticas

Me dan el siguiente problema sobre el teorema de disipación de fluctuación:

Considere una fuerza externa $f(t)= \frac{f_0}{2}(e^{i\omega_0 t}+e^{-i\omega_0 t})$ actuando sobre una partícula con cantidad de movimiento $p=mv$ en algún ambiente. El hamiltoniano total dice:

H = \frac{{pag}^{2}}{2 metro} + tu ({q, pag}_{mi norte v}) - \frac{pag F (t)}{metro},

$H = \frac{p^2}{2m}+U(\{q,p\}_{env})-\frac{p f(t)}{m},$

dónde $env$ representa las posiciones del entorno y los momentos.

Me piden encontrar la tasa de disipación promedio. y me dan eso $\langle v(\omega)\rangle=\chi_v(\omega)f(\omega)$ , dónde $\chi_v(\omega)$ es la función de respuesta de velocidad. La respuesta debería ser la siguiente:

⟨ \frac{d mi}{d t} ⟩ = \frac{1}{2} F_{0}^{2} x_{v}^{''} (ω_{0}) ω_{0}

$\Big\langle \frac{dE}{dt}\Big\rangle=\frac{1}{2}f_0^2 \chi_v^{\prime\prime}(\omega_0)\omega_0$ dónde

χ_{v}^{''} (ω_{0})

$\chi^{\prime\prime}_v(\omega_0)$ denota la parte imaginaria de

χ_{v} (ω_{0})

$\chi_v(\omega_0)$ .

mi prueba :

Podemos encontrar $\langle v(t)\rangle$ utilizando la transformada inversa de Fourier:

⟨ v (t) ⟩ = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} x_{v} (ω) F (ω) {mi}^{- i ω t} d ω .

$\langle v(t)\rangle=\frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}\chi_v(\omega)f(\omega) e^{-i\omega t} d\omega.$

Notemos que la transformada de Fourier de la fuerza $f(t)$ es dado por:

F (ω) = F_{0} π [d (ω - ω_{0}) + d (ω + ω_{0})] .

$f(\omega) = f_0 \pi[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)].$

Por lo tanto encontramos que:

⟨ v (t) ⟩ = \frac{F_{0}}{2} \int_{- \infty}^{\infty} x_{v} (ω) [d (ω - ω_{0}) + d (ω + ω_{0})] {mi}^{- i ω t} d ω .

$\langle v(t) \rangle = \frac{f_0}{2}\int^{\infty}_{-\infty}\chi_v(\omega)[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)] e^{-i \omega t}d\omega.$

De esto encuentro que $\langle v(t) \rangle$ es dado por:

⟨ v (t) ⟩ = \frac{F_{0}}{2} (x_{v} (ω_{0}) {mi}^{- i ω_{0} t} + x_{v} (- ω_{0}) {mi}^{i ω_{0} t}) .

$\langle v(t) \rangle = \frac{f_0}{2} (\chi_v(\omega_0)e^{-i\omega_0 t}+\chi_v(-\omega_0)e^{i\omega_0 t}).$

Ahora usé lo siguiente para encontrar la disipación de la energía de la partícula:

\frac{d mi}{d t} = F (t) ⟨ v (t) ⟩ = \frac{F_{0}^{2}}{4} ({mi}^{i ω_{0} t} + {mi}^{- i ω_{0} t}) (x_{v} (ω_{0}) {mi}^{- i ω_{0} t} + x_{v} (- ω_{0}) {mi}^{i ω_{0} t}) .

$\frac{dE}{dt} = f(t)\langle v(t) \rangle = \frac{f^2_0}{4}(e^{i\omega_0 t}+e^{-i\omega_0 t})(\chi_v(\omega_0)e^{-i\omega_0 t}+\chi_v(-\omega_0)e^{i\omega_0 t}).$

Podemos promediar esto durante un período de tiempo $T$ como sigue:

⟨ \frac{d mi}{d t} ⟩ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \frac{d mi}{d t} d t = \frac{F_{0}^{2}}{4 T} \int_{0}^{T} (x_{v} (ω_{0}) + x_{v} (- ω_{0}) + {mi}^{2 i ω_{0} t} x_{v} (- ω_{0}) + {mi}^{- 2 i ω_{0} t} x_{v} (ω_{0})) d t .

$\Big\langle \frac{dE}{dt} \Big\rangle = \frac{1}{T}\int^T_0 \frac{dE}{dt} dt = \frac{f_0^2}{4T} \int^T_0 (\chi_v (\omega_0 )+\chi_v(-\omega_0)+e^{2i \omega_0 t}\chi_v(-\omega_0)+e^{-2i \omega_0 t}\chi_v (\omega_0))dt.$

Desde que tomamos $T = 2\pi/\omega_0$ los dos últimos términos dan una contribución nula a la integral. Por lo tanto encontramos que:

⟨ \frac{d mi}{d t} ⟩ = \frac{F_{0}^{2}}{4} (x_{v} (ω_{0}) + x_{v} (- ω_{0})) .

$\Big\langle \frac{dE}{dt} \Big\rangle = \frac{f^2_0}{4}(\chi_v(\omega_0)+\chi_v(-\omega_0)).$

Entonces vemos que debido a $\chi_v(\omega_0) = \chi^\prime_v(\omega_0)+i\chi^{\prime \prime}_v (\omega_0)$ podemos escribir:

x_{v} (ω_{0}) + x_{v} (- ω_{0}) = 2 x_{v}^{'} (ω_{0}),

$\chi_v(\omega_0)+\chi_v(-\omega_0) = 2 \chi^\prime_v(\omega_0),$ dónde

χ^{'}

$\chi^\prime$ denota la parte real de

χ

$\chi$ , podemos hacer esto porque la parte real es par y la parte imaginaria es impar en

ω_{0}

$\omega_0$ . Pero luego encuentro lo siguiente:

⟨ \frac{d mi}{d t} ⟩ = \frac{F_{0}^{2}}{2} x_{v}^{'} (ω_{0}),

$\Big\langle \frac{dE}{dt} \Big \rangle = \frac{f^2_0}{2}\chi_v^\prime(\omega_0),$

pero esto es diferente de lo que tengo que probar.

Pregunta: ¿alguien puede encontrar la diferencia o ayudarme con este problema?

usuario197851

Verifique su fórmula para

d E / d t

$dE/dt$ . A la derecha,

f (t) ⟨ v (t) ⟩

$f(t)\langle v(t)\rangle$ debe estar mal (tiene unidades de energía, no de energía/tiempo).

maestro de matemáticas

hola gracias por la respuesta Una pregunta: la velocidad multiplicada por una fuerza solo da un poder, ¿entonces no una energía?

usuario197851

solo estas llamando

f

$f$ ¡una fuerza! Aparece en tu hamiltoniano perturbado como un término

- (p / m) f (t) = - v f (t)

$-(p/m)f(t)=-vf(t)$ . Entonces sus unidades son las mismas que las de la cantidad de movimiento. Una fuerza real aparecería como un término

- x f (t)

$-xf(t)$ o similar.

maestro de matemáticas

Tienes razón, pero el problema es que en la pregunta se expresa de esa manera literalmente. Creo que pueden estar equivocados y eso

f

$f$ de hecho, debe interpretarse como un impulso externo... ¡Gracias, profesor!

usuario197851

A menudo uno se refiere a una "fuerza generalizada". No digo que el problema esté en la definición del término de perturbación en el hamiltoniano; Estoy diciendo, revisa tu fórmula para la tasa de cambio de energía. Creo que necesita otra derivada de tiempo en alguna parte. ¡Más que eso, no quiero decir!

usuario197851

Ahora que ha dado su respuesta (en la pregunta), presento un contexto a continuación que podría ayudar a otros que vean esta pregunta. No le aconsejaría que "acepte" mi respuesta (porque no estoy respondiendo completamente su pregunta original); en su lugar, le sugiero que corte y pegue la sección "Editar" de su pregunta en una respuesta propia (y luego la convierta en la respuesta "aceptada" oficialmente). Esto ayudará a poner en orden las cosas. de mis comentarios aquí, de nuevo con la intención de poner orden.

Respuestas (2)

Teorema de disipación de fluctuación para velocidades

Verifique su fórmula para $dE/dt$ . A la derecha, $f(t)\langle v(t)\rangle$ debe estar mal (tiene unidades de energía, no de energía/tiempo).
hola gracias por la respuesta Una pregunta: la velocidad multiplicada por una fuerza solo da un poder, ¿entonces no una energía?
solo estas llamando $f$ ¡una fuerza! Aparece en tu hamiltoniano perturbado como un término $-(p/m)f(t)=-vf(t)$ . Entonces sus unidades son las mismas que las de la cantidad de movimiento. Una fuerza real aparecería como un término $-xf(t)$ o similar.
Tienes razón, pero el problema es que en la pregunta se expresa de esa manera literalmente. Creo que pueden estar equivocados y eso $f$ de hecho, debe interpretarse como un impulso externo... ¡Gracias, profesor!
A menudo uno se refiere a una "fuerza generalizada". No digo que el problema esté en la definición del término de perturbación en el hamiltoniano; Estoy diciendo, revisa tu fórmula para la tasa de cambio de energía. Creo que necesita otra derivada de tiempo en alguna parte. ¡Más que eso, no quiero decir!
Ahora que ha dado su respuesta (en la pregunta), presento un contexto a continuación que podría ayudar a otros que vean esta pregunta. No le aconsejaría que "acepte" mi respuesta (porque no estoy respondiendo completamente su pregunta original); en su lugar, le sugiero que corte y pegue la sección "Editar" de su pregunta en una respuesta propia (y luego la convierta en la respuesta "aceptada" oficialmente). Esto ayudará a poner en orden las cosas. de mis comentarios aquí, de nuevo con la intención de poner orden.

usuario197851 · Answer 1

Dado que ha establecido su solución, espero que esté bien ofrecer algo de contexto.

No todo el mundo se da cuenta de que hay dos formas de obtener este resultado, y si solo han visto una, existe la tentación de considerar la otra como "incorrecta". A continuación, consideraré el caso en el que la energía perturbada es $E=E_0-f(t)A(x,p)$ , y $A(x,p)$ es alguna función del sistema de coordenadas y momentos. $A(t)$ es una abreviatura conveniente para $A(x(t),p(t))$ . Los corchetes angulares representan promedios en el conjunto perturbado.

En A Modern Course in Statistical Physics de LE Reichl, por ejemplo, 4.ª edición, p. 262, ecuaciones (7.123)-(7.130) (estas mismas ecuaciones aparecen en capítulos numerados de forma diferente en ediciones anteriores) verá la disipación expresada como la velocidad de hacer trabajar en el medio circundante. Cambiaré el signo de esto y lo expresaré como la tasa de trabajo en el sistema de interés (potencia recibida)

PAG (t) = \frac{d W}{d t} = F (t) \frac{d ⟨ A (t) ⟩}{d t}

$P(t) = \frac{dW}{dt} = f(t)\frac{d\langle A(t)\rangle}{dt}$ Esta es la respuesta que has dado, con

A = p / m

$A=p/m$ .

En Statistical Mechanics de DA McQuarrie, p540, Problem 21-58, y en otros lugares como las notas del curso de HC Andersen , la disipación se calcula en términos de la tasa de cambio de energía del sistema. En este caso,

{PAG}^{'} (t) = \frac{d ⟨ mi ⟩}{d t} = - \frac{d F}{d t} ⟨ A (t) ⟩

$P'(t) = \frac{d\langle E\rangle}{dt} = -\frac{df}{dt}\langle A(t)\rangle$ Las notas de Andersen son bastante buenas para dar una derivación simple de esto y para explicar si deberíamos considerar

E

$E$ o

E_{0}

$E_0$ aquí.

Estas dos definiciones, $P$ y $P'$ , de la potencia instantánea son diferentes entre sí.

Hay algunos lugares donde se dan y comparan ambas expresiones: por ejemplo, Introducción a la Mecánica Estadística Moderna por D Chandler, p258, sección 8.7, y Física Estadística del No Equilibrio por N Pottier, p390, ecuaciones (14.1.1)-(14.1. 11). Chandler señala que, si se promedian las dos expresiones durante un período de tiempo, se puede integrar por partes, asumiendo que los términos de frontera en $t=0$ y $t=T$ son insignificantes, lo que debería ser cierto si $T$ es lo suficientemente largo,

\bar{PAG (t)} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} d t F (t) \frac{d ⟨ A (t) ⟩}{d t} = - \frac{1}{T} \int_{0}^{T} d t \frac{d F}{d t} ⟨ A (t) ⟩ = \bar{{PAG}^{'} (t)}

$\overline{P(t)} =\frac{1}{T}\int_0^T dt \, f(t)\frac{d\langle A(t)\rangle}{dt} =-\frac{1}{T}\int_0^T dt \, \frac{df}{dt}\langle A(t)\rangle =\overline{P'(t)}$ por lo que los promedios resultan ser iguales. Algo similar sucede cuando integras sobre un ciclo para una perturbación oscilatoria. Y Pottier en realidad dice

Como muestran las fórmulas (14.1.4) y (14.1.10), la potencia instantánea recibida por el sistema no es igual a la tasa de evolución instantánea de la energía del sistema acoplada al campo. Sin embargo, como muestran las fórmulas (14.1.5) y (14.1.11), estas cantidades son iguales en promedio. Es por esto que la potencia media disipada dentro del sistema también puede obtenerse a partir de la tasa de evolución media de la energía total del sistema acoplado al campo.

maestro de matemáticas · Answer 2

El error en el cálculo radica en el hecho de que $f(t)$ no es una fuerza sino una fuerza generalizada, lo que significa que en este caso tiene unidades de cantidad de movimiento. Y por lo tanto, la ecuación para la tasa de disipación no es del todo correcta. Por lo tanto, la tasa de disipación promedio viene dada por lo siguiente:

⟨ \frac{d mi}{d t} ⟩ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} F (t) \frac{d ⟨ v (t) ⟩}{d t} d t,

$\Big \langle \frac{dE}{dt} \Big\rangle = \frac{1}{T}\int^T_0f(t)\frac{d\langle v(t)\rangle}{dt} dt,$

(o la otra forma según lo indicado por el profesor arriba).

De esto encontramos que:

\frac{d mi}{d t} = \frac{F_{0}^{2}}{4} (i ω_{0} x_{v} (- ω_{0}) {mi}^{i ω_{0} t} - i ω_{0} x_{v} (ω_{0}) {mi}^{- i ω_{0} t}) ({mi}^{i ω_{0} t} + {mi}^{- i ω_{0} t}) .

$\frac{dE}{dt} = \frac{f^2_0}{4}(i\omega_0 \chi_v(-\omega_0) e^{i\omega_0 t}-i\omega_0 \chi_v(\omega_0)e^{-i\omega_0 t})(e^{i\omega_0 t}+e^{-i\omega_0 t}).$

Promediar en el tiempo da:

⟨ \frac{d mi}{d t} ⟩ = \frac{F_{0}^{2}}{4 i} ω_{0} (x_{v} (ω_{0}) - x_{v} (- ω_{0})) .

$\Big\langle \frac{dE}{dt} \Big\rangle = \frac{f_0^2}{4i}\omega_0 (\chi_v(\omega_0)-\chi_v(-\omega_0)).$

Desde

x_{v} (ω_{0}) - x_{v} (- ω_{0}) = 2 i x_{v}^{''} (ω_{0}),

$\chi_v(\omega_0)-\chi_v(-\omega_0) = 2i \chi_v^{\prime\prime}(\omega_0),$

podemos escribir la expresión anterior de la siguiente manera:

⟨ \frac{d mi}{d t} ⟩ = \frac{F_{0}^{2}}{2} ω_{0} x_{v}^{''} (ω_{0}) .

$\Big \langle \frac{dE}{dt} \Big \rangle = \frac{f^2_0}{2}\omega_0 \chi_v^{\prime\prime}(\omega_0).$

Créditos al profesor que me ayudó con esta pregunta.

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