Derivación del tensor de momento de energía canónica

En las Matemáticas para la física de Stone y Goldbart, el tensor de impulso de energía canónica se deriva del principio de acción de la siguiente manera.

A la acción de la forma

$$S=\int \mathcal{L}(\varphi,\varphi_\mu) \, \mathrm{d}^{d+1}x ,$$

dónde$\mathcal{L}$la densidad de lagrangigan y$\varphi_\mu = \frac{\partial \varphi}{\partial x^\mu}$es decir, hacemos la variación de la forma

$$\varphi(x) \rightarrow \varphi(x^\mu + \varepsilon^\mu(x)) = \varphi (x^\mu) + \varepsilon^\mu(x)\partial_\mu\varphi+O(|\varepsilon|^2) ,$$ dónde $x=(x^0,...,x^d)$es.

Entonces la variación resultante es

$$\delta S= \int \left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \varphi} \varepsilon^\mu \partial_\mu \varphi +\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi_\nu} \partial_\nu(\varepsilon^\mu \partial_\mu \varphi) \right)\mathrm{d}^{d+1}x$$ $$= \int \varepsilon^\mu \frac{\partial}{\partial x^\nu} \left( \mathcal{L} \delta^\nu_\mu -\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi_\nu} \partial_\mu \varphi \right)\, \mathrm{d}^{d+1}x.$$

Entiendo que de ir de la línea 1 a la 2 se hace algún tipo de integración por partes. Sin embargo, cuando trato de hacer eso, me encuentro con algunos problemas y no obtengo la segunda línea. ¿Alguien puede hacerlo explícitamente para que sepa dónde cometí el error?

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mis pasos son

$$\delta S=\int_\Omega \frac{\delta S}{\delta \varphi(x)} \mathrm{d}\Omega,$$ dónde $\Omega$ser región integrada es.

$$=\int_\Omega \delta\varphi\left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi} - \partial_\nu \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \varphi_\nu} \right) \mathrm{d}\Omega$$

$$=\int_\Omega \varepsilon^\mu \frac{\partial \varphi}{\partial x^\mu} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi} - \partial_\nu \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \varphi_\nu} \right) \mathrm{d}\Omega \qquad \because \delta\varphi= \varepsilon^\mu \partial_\mu \varphi$$

$$=\int_\Omega \varepsilon^\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x^\mu} - \partial_\nu \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \varphi_\nu}\cdot \frac{\partial \varphi}{\partial x^\mu} \right) \mathrm{d}\Omega$$

Ahora puedo sacar$\partial_\nu$sin embargo$\partial_\nu$actúa sólo sobre$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \varphi_\nu}$y no en$\frac{\partial \varphi}{\partial x^\mu}$. Pensé$\partial_\nu\frac{\partial \varphi}{\partial x^\mu}$podría ser cero para que pueda sacar la derivada parcial del paréntesis, pero no veo por qué esto debería ser cierto. Si tuviera que sacarlo llego a la ecuación en la segunda línea de arriba.