Ecuación de calor fuente de volumen frente a condición límite de flujo de calor

Question

Ecuación de calor fuente de volumen frente a condición límite de flujo de calor

Física
termodinámica
conduccion de calor
condiciones de borde

StefKKK

Quiero resolver la ecuación del calor en la esfera unitaria 3D $B$ con una condición de contorno de flujo de calor general, sin fuentes de volumen y una temperatura inicial constante dada:

ρ C_{pag} \partial_{t} T - λ Δ T = 0, adentro B

$\rho c_p\partial_t T - \lambda \Delta T = 0,\,\text{inside}\, B$

- λ graduado (T) \cdot \vec{norte} = q en el límite \partial B,

$-\lambda \operatorname{grad}(T) \cdot \vec{n} = q\,\text{on the boundary}\, \partial B,$

T |_{t = 0} = T_{0} = constante, adentro B

$T\rvert_{t=0} = T_0 = \text{const,}\, \text{inside } B$

Mi pregunta es la siguiente: ¿Obtengo la misma solución para la temperatura $T$ dentro de la esfera $B$ si en cambio resuelvo la siguiente ecuación?

ρ C_{pag} \partial_{t} T - λ Δ T = q d (‖ \vec{X} ‖ - 1), en todo el espacio R^{3}

$\rho c_p\partial_t T - \lambda \Delta T = q\delta(\lVert \vec{x} \rVert - 1),\,\text{on the whole space}\, \mathbb{R}^3$

T |_{t = 0} = T_{0} = constante, en todo el espacio R^{3} .

$T\rvert_{t=0} = T_0 = \text{const,}\, \text{on the whole space } \mathbb{R}^3.$

Mi razonamiento es que puedo ver el flujo de calor en el límite $\partial B$ como si se generara a partir de una fuente de calor concentrada en el límite de la esfera. Por eso elegí $q\delta(\lVert \vec{x} \rVert - 1)$ con un $\delta$ funcionan como el término fuente de calor.

Respuestas (1)

Ecuación de calor fuente de volumen frente a condición límite de flujo de calor

usuario1476176 · Answer 1

La solución dentro de la esfera será la misma si las condiciones dentro y sobre la esfera son las mismas. Es fácil demostrar que el segundo sistema se reduce al primero dentro de la esfera. ¿Qué pasa con el límite?

Considere integrar sobre el volumen de la esfera:

\begin{aligned} \int_{B} ρ C_{pag} \partial_{t} T d V - \int_{B} λ \nabla \cdot \nabla T d V & = \int_{B} q d (| | \vec{X} | | - 1) d V \\ \int_{B} ρ C_{pag} \partial_{t} T d V - \int_{\partial B} λ \nabla T \cdot \hat{norte} d A & = 4 π q \end{aligned}

$\begin{align} \int_{B} \rho c_p \partial_t T\ \text{d} V - \int_B \lambda \nabla \cdot \nabla T \ \text{d}V &= \int_B q \delta(||\vec{x}||-1) \ \text{d}V \\ \int_{B} \rho c_p \partial_t T\ \text{d} V - \int_{\partial B} \lambda \nabla T \cdot \hat{n} \ \text{d}A &= 4\pi q \end{align}$ donde se ha aplicado el teorema de la divergencia y el factor de

4 π

$4\pi$ proviene del hecho de que el delta se integra a uno en cada punto de la esfera unitaria, que tiene área

4 π

$4\pi$ . Supongamos que se cumple la condición de contorno original y veamos cuáles son las implicaciones. Dado que la integral de superficie anterior está en el límite relevante, podemos sustituir la condición de límite original

\begin{aligned} \int_{B} ρ C_{pag} \partial_{t} T d V - \int_{\partial B} (- q) d A & = 4 π q \\ \int_{B} ρ C_{pag} \partial_{t} T d V + 4 π q & = 4 π q \\ \int_{B} ρ C_{pag} \partial_{t} T d V & = 0 \\ \partial_{t} \underset{tu}{\underset{⏟}{\int_{B} ρ C_{pag} T d V}} & = 0 \end{aligned}

$\begin{align} \int_{B} \rho c_p \partial_t T\ \text{d} V - \int_{\partial B} (-q) \ \text{d}A &= 4\pi q \\ \int_{B} \rho c_p \partial_t T\ \text{d} V + 4 \pi q &= 4\pi q \\ \int_{B} \rho c_p \partial_t T\ \text{d} V &= 0 \\ \partial_t \underbrace{\int_{B} \rho c_p T\ \text{d} V}_{U} &= 0 \end{align}$

Esta ecuación nos dice que el segundo sistema solo devuelve la primera condición de contorno cuando la energía total $U$ dentro de la esfera es constante, es decir, en estado estacionario. Los sistemas tendrán la misma solución de estado estacionario, pero no el mismo comportamiento transitorio.

¡Gracias! Entonces, si cambié el flujo de calor en la fuente de volumen a $q_{para fuente de volumen} := q_{de la condición de contorno} + \frac{1}{4 π} \int_{B ∖ \partial B} ρ C_{pag} \partial_{t} T d V$ $q_\text{for volume source} := q_\text{from boundary condition} + \frac{1}{4\pi}\int_{B\setminus\partial B}\rho c_p\partial_t T\mathrm{d}V$ entonces funcionaria?
Ese cambio arreglaría la única integral que resolví, pero esa es solo una condición necesaria (no suficiente) para hacer que la condición límite sea correcta en cada punto. Sin embargo, en el panorama general, aún necesitará alguna condición límite para resolver su nuevo sistema, por lo que no estoy seguro de que transformar las cosas como sugiere realmente haga que sea más fácil trabajar con ellas. ¿Cuál es la motivación para la transformación?
Mi motivación fue que quería obtener un segundo número característico. $\Pi_2 := \frac{qt}{\rho c_p T L}$ como el número de Fourier $Fo := \frac{\lambda t}{\rho c_p L^2}$ adimensionalizando la ecuación. quería usar $\Pi_2$ para algún tipo de control de paso de tiempo mientras se resuelve la ecuación de calor numéricamente.

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usuario1476176

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